歐拉角奇異性產生的原因

原創

lipi37

2018-11-26 05:19

1 歐拉角奇異性的原因.

1.1 奇異性的定義

奇異性，英文Singularity, wiki中的解釋爲

　　In mathematics, a singularity is in general a point at which a given mathematical object is not defined, or a point of an exceptional set where it fails to be well-behaved in some particular way, such as differentiability.

翻譯成中文爲

　　數學中，奇異性通常指的是在一個點處，某個數學對象未被定義，或者一個集合中的某個點處的某個數學特性不好，比如不可微．

1.2 歐拉角的奇異性問題

歐拉角有不同的描述方法，詳見wiki，這裏用常見的來描述飛機姿態角爲例來說明，即繞着內部座標系(intrinsic)或者機體座標系，旋轉順序爲3-2-1的姿態角描述，如圖１，其中x-y-z爲地面座標系, $\psi,\theta,\psi$ 分別爲偏航角，俯仰角，滾轉角．

首先，我們來考慮這樣一個問題

給定一個姿態，是否只有一種旋轉方法從地面座標系到到給定姿態，也即是否只有一種 $\psi,\theta,\psi$ 組合到給定姿態嗎？

答案是否定的，考慮一種特殊情況，當機頭向上時，即飛機呈現豎直向上飛時的姿態時，此時， $\theta$ 爲 $\pi/2$ , 但是偏航角和滾裝角有多種組合方式，比如， $\psi=\pi/2, \phi=0$ 或 $\psi=\pi, \phi=-\pi/2$ , 如下圖

下面給出數學上的嚴格推導，導出歐拉角在某些特殊位置存在不唯一的解．這裏將藉助於旋轉矩陣，即

$R_x(\phi)=\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0& cos(\phi) & sin(\phi)\\ 0& -sin(\phi)& cos(\phi) \end{bmatrix}$

$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} cos(\theta) & 0 & -sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0\\ sin(\theta) & & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$R_z(\psi)=\begin{bmatrix} cos(\psi) & sin(\psi) & 0\\ -sin(\psi) & cos(\psi) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$R=R_x(\phi)\cdot R_y(\theta)\cdot R_z(\psi)=\begin{bmatrix} cos(\theta)cos(\psi) & cos(\psi)sin(\theta)sin(\phi)+sin(\psi)cos(\phi) &-cos(\psi)sin(\theta)cos(\phi)+sin(\psi)sin(\phi) \\ -cos(\theta)sin(\psi)& -sin(\psi)sin(\theta)sin(\phi)+cos(\psi)cos(\phi)&sin(\psi)sin(\theta)cos(\phi)+cos(\psi)sin(\phi) \\sin(\theta) & -sin(\phi)cos(\theta)&cos(\phi)cos(\theta) \end{bmatrix} (1)$

由地面座標系到給定的飛機姿態可以得到唯一的旋轉矩陣，詳見[3]．但從是否可以推出存在唯一的 $\psi,\theta,\psi$ 呢，如果是，則從地面座標系到給定的飛機姿態可以推出唯一的歐拉角，但是根據上面的舉例可以發現答案是否定的．那麼我們現在嘗試從來推出 $\psi,\theta,\psi$ ，記