【BZOJ】5248: [2018多省省隊聯測]一雙木棋-輪廓線&狀壓

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題解

$n\leq10,m\leq10$明示要狀壓，但怎麼記錄狀態呢？

可以發現當前所有棋子的排列必然是階梯形的(設$num_i$表示從上到下第$i$行的棋子個數，則$num_i\geq num_{i+1}$，且每一行的棋子必然靠左排列)。那麼只需要狀壓記錄每行的棋子個數即可。

一種巧妙的方式是將這個階梯形的變化看做輪廓線，記錄第一行的棋子個數爲$i$，輪廓線中$0,1$分別表示從當前位置向左/向右走，最多$n+m-2$次就能走到終點。

但是要求雙方都採用最優策略且知道對方會採用最優策略，一種常用的套路就是倒序$dp$，設$f_{i,j}$表示從第一排第$i$個棋子出發輪廓線爲$j$，不包括當前狀態的後續的“雙方均採用最優策略”的差值。這樣就可以直接選最優情況轉移了。一般這種$dp$可以採用記憶化搜索，但發現對於這道題每次倒推到需要判斷當前是先手還是後手，輪廓線如何向外走，使用記憶化搜索反而體現不出簡潔性。然而我們可以將$dp$的狀態轉移看成一張$DAG$，拓撲排序倒推即可。

對於先手後手，分別取$min/max$也需要仔細考慮，這裏就不詳說了。

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代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20,M=(1<<19)+10,inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,f[N][M],d[N][M],val[2][11][11],bin[30];
bool rod[N][M];

struct P{
   int pos,sta;
   P(int ps_=0,int st_=0):pos(ps_),sta(st_){};
}tp;
queue<P>que;

int main(){
	int i,j,k,x,y,sa,sb,p,vl;bin[0]=1;
	for(i=1;i<30;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(k=0;k<2;++k)
	  for(i=1;i<=n;++i)
	   for(j=1;j<=m;++j)
	     scanf("%d",&val[k][i][j]);
	que.push(P(m,bin[n-1]-1));rod[m][bin[n-1]-1]=(n*m)&1;
	for(;que.size();){
		tp=que.front();que.pop();x=tp.pos;sa=tp.sta;sb=sa>>1;p=rod[x][sa]^1;
		if(((sa&1)^1)&&(x!=1)){
		   d[x-1][sb]++;
		   if(d[x-1][sb]==1) rod[x-1][sb]=p,que.push(P(x-1,sb));
		}y=x;
		for(i=0,j=sa;j;j>>=1,++i){
			if((j&1)&&(((j>>1)&1)^1)){
			   sb=sa^((y==1)?(1<<i):(3<<i));d[x][sb]++;
			   if(d[x][sb]==1) rod[x][sb]=p,que.push(P(x,sb));
		    }
		    if((j&1)^1) y--; 
		}
		f[x][sa]=rod[x][sa]?inf:(-inf);
	}
	que.push((P){m,bin[n-1]-1});f[m][bin[n-1]-1]=0;
	for(;que.size();){
		tp=que.front();que.pop();x=tp.pos;sa=tp.sta;sb=sa>>1;p=rod[x][sa];vl=f[x][sa];
		if(((sa&1)^1)&&(x!=1)){
			d[x-1][sb]--;if(!d[x-1][sb]) que.push(P(x-1,sb));
			f[x-1][sb]=p?max(f[x-1][sb],vl+val[0][1][x]):min(f[x-1][sb],vl-val[1][1][x]);
		}y=x;x=1;
		for(i=0,j=sa;j;j>>=1,++i){
			if((j&1)&&(((j>>1)&1)^1)){
				sb=sa^((y==1)?(1<<i):(3<<i));d[tp.pos][sb]--;
				if(!d[tp.pos][sb]) que.push(P(tp.pos,sb));
			    f[tp.pos][sb]=p?max(f[tp.pos][sb],vl+val[0][x+1][y]):min(f[tp.pos][sb],vl-val[1][x+1][y]);
			}
			if(j&1) x++;else y--;
		}
	}
	printf("%d",f[1][0]+val[0][1][1]);
	return 0;
}