【模板】Miller-Rabin & Pollar-Pho

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Miller-Rabin

判斷大素數的方法。

對於素數p，僅存在$x=1,p-1$，使得$x^2\equiv 1\pmod p$。

任取前幾小的素數(通常前10小的素數)$q$，進行二次探測：

• 首先滿足歐拉定理$q^{p-1}\equiv 1\pmod p$
• 求出$t,s$滿足$p-1=2^st$，且$t$爲奇數
• 由$q^t$逐步平方若$q^{2t}\equiv 1\pmod p$且$q^t$不是$1,p-1$，則$p$非奇數

通過二次探測的數很大概率上爲素數。

Pollar-Pho

快速分解$n$的所有質因子的方法：

每次找出一個$n$的一個約數：

• 任取$x\in [0,n)$，設變化爲$f(x)=(x^2+c)\% n,c$爲$[0,n)$中任意取定的常數(+c是因爲怕$x^2$不停走自環)，顯然最後圖形要麼是個環，要麼是個Pho形。
• 若存在$n$的某個約數$a(a>1)$，考慮在大環上存在小環使得$x_i\neq x_j \pmod n,i<j$，且$x_i\equiv x_j\pmod a$，則$a|(|x_i-x_j|)$，由因爲$a|n$，所以$a|\gcd(n,|x_i-x_j|)$，故若$\gcd(n,|x_i-x_j|)>1$則找到了一個約數，可以遞歸分解下去

考慮倍增枚舉大環，每次在$2^k$步上找約數，複雜度分析分析是$O(^4\sqrt n\log n)$的

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代碼

傳送門:bzoj3667

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int tk;
ll n,mxn;

const int p[12]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};

inline ll rnd(){return ((ll)rand()<<15)+rand();}

inline ll mul(ll x,ll y,ll p)
{
	ll d=x*y-(ll)((long double)x/p*y)*p;
	return d<0?d+p:d;
}

inline ll gcd(ll x,ll y){return (!y)?x:gcd(y,x%y);}

inline ll fp(ll x,ll y,ll p)
{
	ll re=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x,p))
	 if(y&1) re=mul(re,x,p);
	return re;
}

inline ll pollar_rho(ll c,ll n)
{
	ll g,x=rnd()%n,y=x,k=2;
	for(ll i=1;;++i){
		x=(mul(x,x,n)+c)%n;
		g=gcd(abs(x-y),n);
		if(g!=1) return g;
		if(i==k) y=x,k<<=1;
	}
}

inline bool ck(int p,ll r,ll s,ll n)
{
	ll x=fp(p,r,n),y=x,i;
	for(i=0;i<s;++i,y=x){
		x=mul(x,x,n);
		if(x==1)
		  return (y==1 || y==n-1);
	}
	return (x==1);
}

inline bool miller_rabin(ll n)
{
	if(n<2) return false;
	int i;ll r=n-1,s=0;
	for(;!(r&1);r>>=1) s++;
	for(i=0;i<10;++i){
		if(n==p[i]) return true;
		if(!ck(p[i],r,s,n)) return false;
	}
	return true;
}

void fd(ll n)
{
	if(n==1 || n<=mxn) return;
	if(miller_rabin(n)) {mxn=n;return;}
	ll g=pollar_rho(rnd()%n,n);
	for(;g==n;g=pollar_rho(rnd()%n,n));
	fd(g);fd(n/g);
} 

int main(){
	for(scanf("%d",&tk);tk;--tk){
		scanf("%lld",&n);mxn=0;fd(n);
		if(mxn==n) puts("Prime");
		else printf("%lld\n",mxn);
	}
	return 0;
}