1.解釋利率期望在shape of term structure中的角色
flat yield curve
這種情況下投資者期望未來3年的1-year spot rate都是一個固定值，yield也是固定的
Upward-slopping Yield Curve
這種情況下期望的spot rate會導致yield curve也是Upward-slopping
Downward-slopping Yield Curve
這種情況下期望的spot rate會導致yield curve也是Downward-slopping
- 短期看，期望的spot rate可以決定yield curve形狀。
- 長期看，期望的spot rate並不能描述yield curve
但是real rate和inflation rate在長期是相關的固定常量，因此IR expectation描述了長期的利率級別
2.應用一個風險中性利率樹來評估波動率對shape of term structure的影響
根據決策樹計算出Expected 1 year rate
根據風險中心決策樹計算出PV
然後算出PV的隱含的2-year spot rate
這個例子說明由於利率的不確定性，excepted rate的波動率會導致未來spot rate更低。隱含spot rate和期望spot rate的差就是bond的Convexity
例題分析：
![]()
答案B，根據三年的期望利率算出PV，然後根據PV算出3-year spot rate
3.使用Jensen不等式估計convexity effect
折現率的期望 大於 利率期望的折現
兩年期債券的價格大於兩個一年累計累加同等年年化利率的價格
例題分析：
![]()
使用Jensen不等式
折現率的期望=0.5*（1/1.08+1/1.04）= 0.94373
利率期望的折現=1/（0.5（1.08+1.04））= 0.9434
然後再用1.06折現到0時刻，最後算得 0.89031 > 0.89000
4.評估maturity，yield，volatility的變化對convexity的影響
- maturity上升會導致convexity上升
- volatility上升會導致convexity上升
5.計算零息債券合併一個risk premium的價格和收益
在計算price的時候需要使用IR+risk premium作爲折現利率