齊次座標，怎麼你也叫Homogeneous

其實參考鏈接中已經解釋的很好了，這篇博客主要就是爲了碼一下別人的博客。鏈接1、2裏面不僅有關於齊次座標的解釋，還有很多其他的計算機圖像的知識點，鏈接2還做了很多《冰與火之歌》的彩蛋。

在平常數學運算中，我們一般使用笛卡爾座標，但是在計算機圖形學中使用的更多的是齊次座標（Homogeneous Coordinates）。數學裏，齊次座標（homogeneous coordinates），或投影座標（projective coordinates）是指一個用於投影幾何裏的座標系統，如同用於歐氏幾何裏的笛卡兒座標一般。該詞由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯於1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一書內引入齊次座標有三大優點。

一，還可以表示無窮遠處的點。在歐式空間（Euclidean space）或者笛卡爾空間（Cartesian space）中，平行線是無法相交的，但是真實世界中因爲透視關係，平行的鐵軌在無窮遠處也可以相交。而歐式空間中的座標沒有意義，所以齊次座標就出現了。齊次座標可以用維的座標表示笛卡爾座標系中維的座標。齊次座標對應笛卡爾座標，是縮放係數。這樣當取，就可以表示笛卡爾座標系中的無窮大，對應無窮點（points at infinity）。一般的，取，得到歸一化的齊次座標。是齊次座標，被稱爲增廣矢量（augmented vector）。

                                                                                      

二，齊次座標可以區分點和向量。計算機圖形學(OpenGL版)》的作者F.S. Hill Jr. 寫到：齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換[98]。在笛卡爾座標系中的一個座標，我們無法判斷它表示的是一個點還是一個從原點指向該點的向量。齊次座標因爲有一個冗餘的維度（縮放係數），可以作爲標誌位，當它取1時表示座標點，當它爲0時表示向量。這是因爲表達一個點比一個向量需要額外的信息：

三，齊次座標允許平移、旋轉、縮放和透視投影表示爲矩陣與向量相乘的運算，而使用笛卡爾座標，平移和透視投影不能表示成矩陣相乘。仿射變換其實就是線性變換（旋轉縮放）與平移的疊加。笛卡爾座標系不能用乘法表示仿射變換主要是因爲平移變換。現在利用齊次就可以將平移變換中的矩陣相加轉換爲矩陣相乘：

                                                                               

至於爲什麼叫齊次，這是因爲齊次座標與笛卡爾座標不是一一對應的。只要前n個分量與縮放係數的比例相同就會映射到同一個笛卡爾座標，即對齊次座標每一個分量同等進行縮放，都表示的是笛卡爾座標系中的同一個點，這就是尺度不變性（Scale Invariant），也就是齊次。谷歌翻譯Homogeneous是“同質”的意思，百度翻譯結果是“均勻的;同性質的。這裏寫作齊次。而之前學習的單應矩陣中單應英文單詞是Homography，指的是點與點一一對應。他們共同使用詞根homo，意爲“相同的”。

注意：

三元組 (0, 0, 0) 不表示任何點。原點表示爲 (0, 0, 1)

Reference：

 

1. http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
2. 冰與火之歌https://oncemore.wang/blog/homogeneous/
3. https://www.cnblogs.com/xin-lover/p/9486341.html