4.3 債券估值
56 price, discount and arbitrage
56.1 定義discount factor,用折現公式計算PV,FV
discount factor:就是用來把一個FV給折現的factor,d(t), 代表年份
d(0.5), 把一個0.5年以後的FV折現的factor
一般題目會給出幾個bond的coupon,maturity,price,求discount factor
- 畫出bond的CF
- 根據CF以此算出d(t)
計算Coupon Bond T時刻的Forward Price
假設自己在0時刻short了一個bond,收入的price=S的現金,然後算這個這個現金在T點的
然後算在t1,t2,...時刻支付的coupon在T時刻的
最後forward price=
見到Coupon Rate一定要除2,見到Coupon Rate一定要除2,見到Coupon Rate一定要除2
56.2 定義law of one price,用一個套利論證解釋它,描述如何應用到bond定價
“law of one price”,就是把一個bond的CF都按照discount factor給折現了,這樣所有的bond都可以在一個同等的條件比較價值了。
56.3 識別US treasury coupon bond的組成部分,對比STRIPS,包括P-STRIPS和C-STRIPS的區別
把treasury coupon bond拆分成zero-coupon bond來發行稱之爲STRIPS(Separate trading of registered interest and principle securities),bond被拆解成了兩部分:
- principle:P-STRIPS
- coupon:C-STRIPS
STRIPS的優點:
- zero-coupon更容易構建CF
- zero-coupon對利率更敏感
STRIPS的缺點:
- 可能是非流動資產
- 長期C-STRIPS更便宜
- 短期C-STRIPS更貴
- P-STRIPS按照fair-value交易
- 大型機構可以從中獲利
56.4 根據給定的fixed income security構建一個相同CF的portfolio
- 先畫出給定fixed income security的CF
- 把每個節點的CF當作結果,從最長的CF開始使用下面公式依次計算出需要買入bond的face amount()
56.5 根據fixed income的現金流識別套利機會
可以根據市場上bond的law of one price進行套利
- 如果low of one price 大於 price,說明bond便宜了,可以long
- 然後short sell 和上面bond現金流折現後相同的zero-coupon bond
56.6 clean和dirty的區別,解釋accrued interest的含義
Accrued Interest 就是在交割日那天部分的coupon
56.7 描述在bond定價中的common day-count convention
US government bonds:actual/actual
US corporate bonds:30/360
US government agency:actual/360
57 Spot,forward and Par
57.1 計算和解釋不同付息週期對債券價值的影響
m: 每年支付coupon的次數
支付次數越多,FV越大
57.2 給出IR swap rate,計算discount factor
IR Swap可以看做是bonds,
IR Swap rate=coupon
IR Swap notional amount=par value
所以使用bond的計算方法就可以算出discount factor
57.3 給出discount factor計算spot rate
spot rate就是zero-coupon的收益率
z(t)= t年週期zero-coupon bond的年化收益率
一般是給出STRIPS來計算spot rate
根據SPTRIPS的PV,FV,N來算出每期(半年)收益率
然後spot rate = 每期收益率*2
57.4 解釋forward rate,根據spot rate計算forward rate
根據兩個不同週期的spot rate,來計算兩個週期之前的forward rate
6個月的forward rate:
f(0.5)=從0.5到1年的forward rate
f(1)=從1到1.5年的forward rate
57.5 定義par rate,並描述par rate等式
par rate = 假設bond當前價格如果是par的收益率(可以理解爲coupon rate)
par rate等式: Par rate = Swap rate,可以使用swap rate curve作爲par rate curve
考題分析:
IR swap rate=Par rate,而spot rate略高於par rate,所以直接選B
如果計算,使用上面公式挨個計算discount factor
57.6 解釋spot,par 和 forward rate的關係
Forward rate > Spot rate > Par rate
3年的spot rate 近似於 3年內所有forward rate的平均值
假設一條upward-sloping spot rate curve,par rate很接近,但是小於spot rate。這個關係發生在spot rate curve is not flat
57.7 評估期限對於債券價格和債券收益的影響
對bond price的影響:
當coupon rate高於對應forward rate的時候,債券價格會隨着期限增加而上漲
當coupon rate小於對應forward rate的時候,債券價格會隨着期限增加而下跌
對bond return的影響:
當短期利率高於forward rate,投資短期的收益高
當短期利率低於forward rate,投資長期的收益高
57.8 定義利率曲線的 flattening 和 steepening, 並描述當期望flatten和steepen時應該如何交易。
parallel shift:所有期限的rate都移動相同的amount
Twist shift(曲線斜率變的平緩還是陡峭)
steepening:短期和長期的利率差更大了,更陡峭
當investor期望steepen時,他期望長期利率會漲,長期債券價格會跌,所以要賣出長期債券,買入短期債券
flattening:短期和長期的利率差更小了,更平緩,
當investor期望flatten shift,操作和steepen相反
- Butterfly shift (曲線更彎曲還是更直)
positive:曲線變成直線
negative:直線變成曲線
58 Return,spread and yield
58.1 區分gross and net realized return,計算考慮持有一個bond reinvest的realized return
Gross realized return=
Net realized return= gross realized return -
:PV
:FV
: 當期收到的coupon
: 當期借錢的市場利率
reinvest就是把獲得的coupon再投資,然後根據CF計算得出realized return
58.2 定義和說明spread,並解釋一個spread是如何從債券價格和利率結構中衍生出來的
Spread:bond的市場價格和計算價格之間的difference反映在利率上就是spread, 本質就是bond收益率的偏差值
f(t): t年的forward rate
s: spread
58.3 定義,解釋和應用一個YTM來對債券定價
YTM 就是根據CF計算這個bond自己的年化收益率
58.4 根據債券結構和價格計算YTM
58.5 計算annuity和perpetuity的價格
Annuity:是每年支付一個固定的payment,可以理解成只支付coupon的債券
所以根據PMT,N,YTM,就可以計算出PV了
Perpetuity:是一個永遠支付coupon的債券
PV = Coupon/yield
58.6 解釋spot rate和YTM的關係
基本考題:
- 使用spot rate來計算bond的PV
- 根據bond的PV反算YTM
58.7 定義coupon effect,解釋coupon rate,YTM和bond price之間的關係
coupon effect:如果兩個bond其他條件相同,coupon小的bond對interest rate更敏感
三者關係:
if coupon rate>YTM, bond will sell more than par, premium
if coupon rate<YTM, bond will sell less than par, discount
if coupon rate=YTM, bond will sell for par value
58.8 解釋對一個bond的P&L(profitability or loss)分解,解釋拆分的因子(carry roll down, rate change 和 spread change)影響
total price appreciation(增值) = (T1時刻bond的價格)-(T0時刻bond的價格)
一個例子:
T0時刻的價格=++=93.0229
Carry-roll-down:當利率期限結構從原始的T0時刻變動到T1,價格的改變
Carry roll down T1時刻的價格 = =94.3485
rate change:當利率期限結構從T0時刻變動到T1,利率發生改變,價格的改變
rate change T1時刻的價格 = =96.1800
spread change:當利率期限結構從T0時刻變動到T1,當bond的spread(bond價值和市場價格的差距反應在收益率上)發生改變時,價格的改變
spread change T1時刻的價格 = =93.4515 (圖片中的結果把原始rate給改了)
58.9 識別carry roll-down scenario的假設,包括realized forward,unchanged term structure,unchanged yield
carry roll down的假設: 利率不變
realized forwards scenario:
假設forward rate = 未來的spot rate,那麼收益就依賴於期限結構
1年spot是5%,2年spot是7%,
在realized forward scenario下,forward rate必須是9%(implied rate)
如果realized大於implied,那麼滾動投資短期將產生更高收益
如果realized小於implied,那麼直接投資長期將產生更高收益
所以投資策略依賴於投資者期望的rate和implied rate的差異
這個情景假設forward rate沒有risk premium
unchanged term structure scenario:
假設期限結構不改變,那麼gross realized return就依賴於coupon和forward之間的關係
這個情景隱含forward rate包含risk premuim
unchanged yield scenario:
假設bond收益率不改變,那麼coupon可以用來按照YTM再投資
如果大家覺得這個學習筆記對你學習FRM有幫助,歡迎大家使用下面的二維碼關注我的個人訂閱號:饌玉閣。所謂饌玉,原指美食,入口的是美食,入腦的就不是美食嗎?