作者：White Pillow
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來源：知乎
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Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他發現很大一部分讀者都有一個疑問：到底張量是TMD什麼東西? (What’s a tensor? ）
於是乎就做了這個視頻，用12分鐘來告訴你張量是什麼。
想要了解張量（Tensor），首先需要對向量（Vector）有一個清晰的瞭解。
在我們的課本中，向量通常都是這樣一個箭頭……用來表示一個既有幅度（magnitude）又有方向（direction）的物理量，比如重力、磁力或者一個粒子的速度。這個箭頭的長度表示幅度，箭頭的指向表示方向。
此外，向量還可以用來表示一個平面，表示方法就是讓向量代表垂直於這個平面的方向（法線方向）。
這麼看來，向量可以表示很多東西：表示力、速度甚至平面，不過仔細想想向量也只表示了幅度（magnitude）與方向（direction）兩個要素而已。
還有很多物理量用向量是沒法表示的（後面會提到），向量其實是一個更廣泛的表示方法的特例。對的，你猜對了，這個更廣泛的方法就是張量（Tensor）。
爲了更好的解釋張量是什麼，有兩個概念需要先搞清楚： 分量 (Components) 與基向量 (Basis Vectors）。
爲了搞清楚這個兩個概念，我們要引入座標系……
這裏我們引入的是最常見的笛卡爾座標系（Cartesian coordinate system）
說道座標系，就一定要想到座標系的基向量（coordinate basis vector）也稱作unit vector，我們用這個小箭頭來表示基向量。
基向量的長度是”1”，是你用來描述長度的基礎單位。
基向量的方向是你的座標系的座標的方向。
在這個座標系中，在x,y,z軸方向分別有三個基向量。
現在我們有了座標系（coordinate system）與基向量（basis vector），接下來可以確定分量（components）了。
在這個例子中，那個大箭頭向量由4個x基向量，3個y基向量與0個z基向量構成。
所以我們可以用4個x，3個y，0個z來表示那個大箭頭向量。
大箭頭可以拿走了，現在只需要3個數字（方塊，注意方塊上寫着數字）與3個基向量（小箭頭），我們就可以完全還原出大箭頭的信息了。
如果大家默認使用同一套基向量，那麼基向量（小箭頭）都不需要了，我們只需要4,3,0這三個數字（方塊）就可以表示那個向量。
這三個數字（方塊）就是向量的分量（components）。
此時，想要表示一個向量，只要給定這三個分量即可，它們怎麼排列都可以，你也可以把他們立起來。
如果加上兩個括號，這就是我們在書上經常看到的向量的列表示……（笑cry了有木有）
總結一下，剛纔那個桌子上的大箭頭可以用這3個分量（components）與3個基向量（basis vector）表示。
（插一句：請原諒到此爲止都講的內容都是高中知識……因爲很有愛啊~下面即將進入正題）
推廣一下，對於一個向量A來說，我們用Ax, Ay, Az來表示這三個分量，分別對應向量A在x,y,z基向量方向上的分量。
注意每個分量只有一個下標，因爲每個分量只由一個基向量構成（one basis vector per component），所以向量也稱爲1階張量（Tensors of rank 1）。
相應的，標量（scalar）也稱爲0階張量（Tensors of rank 0），因爲標量沒有方向，因此也就不存在基向量，可以說標量的每個分量是由0個基向量構成的。
下面來看更高階的張量。
這是一個在3維空間中的2階張量。
回顧一下，向量有3個基向量與3個分量。
而現在這裏有9個基向量（那些小箭頭）與9個分量（那些方塊）。
注意現在每個分量有兩個下標（例：Axy），而不是之前的一個了。
爲什麼要用兩個下標呢？考慮這個例子：固體物體中某點的受力情況。
想象在該物體裏有一個平面，這個平面的朝向需要用一個向量來表示，爲了表示該向量需要引入1組（3個）基向量；
在每個平面上又有一個力，這個力則需要用第二個向量來表示，這樣對於第一組中每個基向量又引入了第2組（3個）基向量與之組合。
於是就有了桌子上的那3*3個基向量組合。
如果想要表示所有的平面與平面上的力的組合，需要9個分量，每個分量有2個下標（index）來表示該分量由哪兩個基向量組合構成。
例：Axx表示在法線爲x方向的平面上的方向爲x方向的力。
這9個分量與9個基向量共同組成了2階張量。
繼續進一步，這是一個3維空間中的3階張量。
這個張量有27個基向量與27個分量。
現在每個分量有3個下標，所有的下標組合共有3*3*3=27個，故共有27組基向量（見桌子上那3堆箭頭方陣），不同基向量對應一個分量（那堆方塊）。
現在可以做一個總結了，什麼是張量以及爲什麼張量這麼有用呢？
張量是一種表示物理量的方式，這個方式就是用基向量與分量組合表示物理量（Combination of basis vector and component）。
由於基向量可以有豐富的組合，張量可以表示非常豐富的物理量。
此外，張量所描述的物理量是不隨觀察者或者說參考系而變化的，當參考系變化時（其實就是基向量變化），其分量也會相應變化，最後結果就是基向量與分量的組合（也就是張量）保持不變。
考慮到張量有如此強大的表示能力，又不隨觀察者不同而變化，能夠有效的表示宇宙間的萬物，Lillian R. Lieber給了張量一個形象的稱呼the fact of the universe.