零零散散學算法之詳解幾種最短路徑

深入解析最短路徑算法

正文

第一節問題的提出及解決方法
所謂最短路徑問題，可以說有兩種情況來描述。
描述一：在圖論中，指的是尋找圖中兩個節點之間的最短距離。如下圖

描述二：在現實生活中，指的是找到從一個地方到另一個地方的最近距離。如下圖

       上述兩種情況的本質是一樣的，即求一個點到另一個點的最短路徑。好了，問題已經提出來了，那怎麼解決呢？解決該問題的方法還是比較多的，不過由於各個路徑算法所對應的問題條件不同，我們可根據不同的情況，選擇不同的路徑算法。
       本文將介紹三種最短路徑算法，分別是：戴克斯特拉算法（Dijkstra algorithm），弗洛伊德算法（Floyd algorithm）以及A*搜索算法。

第二節戴克斯特拉算法（Dijkstra algorithm）
       該算法解決的是有向圖中單個源點到其他頂點的最短路徑問題。

戴克斯特拉算法的實現過程如下：
       第一步：用帶權的矩陣WeiArcs來表示帶權有向圖，如果圖中的兩個頂點vi和vj是連通的，則用WeiArcs[i][j]表示這兩個頂點所形成邊的權值；如果vi和vj不連通，即<vi,vj>這條邊不存在，那麼將WeiArcs[i][j]置爲∞。
       第二步：設S爲已求得的從某一頂點v始發的最短路徑的終點的集合，且S的初始狀態爲空，初始化時，將始發頂點置於S集合中。那麼從v出發到圖中其餘各個頂點vi可能達到的最短路徑長度的初值爲D[i]。
       第三步：選擇一頂點vj,使得vj就是當前求得的一條從頂點v出發的最短路徑的終點。此時令S = S ∪ {vj}。
       第四步：修改從v出發到集合V-S（V爲圖頂點的集合）中任一頂點vk可達的最短路徑長度。如果D[j]+WeiArcs[j][k] < D[K],則D[k] = D[j] + WeiArcs[j][k]。
       第五步：重複操作第三步、第四步共N-1次，由此就能求得從v出發到圖中其餘各個頂點的最短路徑。

       好了，實現過程就是這樣。不過光有文字描述不行，要更直白的表達這個過程，我認爲用圖像表述是一個很好的選擇。如下圖所示

從運算過程表中，我們可知v0到其餘個點的最短路徑，如下圖

上述過程描述的戴克斯特拉算法的代碼如下：

int ShortPath(MGraph G,int v0,PathMatrix &P,ShortPathTable &D) { 	//用戴克斯特拉算法求有向圖G中v0頂點到其餘頂點v的最短路徑P[v]及帶權長度D[v]。 	//若P[v][w]爲TRUE,則w是從v0到v當前求得最短路徑上的頂點。 	//final[v]爲TRUE當且僅當v∈S,即已經求得從v0到v的最短路徑。 	 	for(v = 0;v < G.vexmun;v++) 	{ 		final[v] = FALSE; 		D[v] = G.WeiArcs[v0][v]; 		for(w = 0;w < G.vexnum;w++) 			P[v][w] = FALSE;	//設空路徑 		if(D[v] < INFINITY) 		{ 			p[v][v0] = TRUE; 			p[v][v] = TRUE; 		} 	} 	 	D[v0] = 0;final[v0] = TRUE;	//初始化，v0頂點屬於S集合 	 	//開始主循環，每次求得v0到某個頂點v的最短路徑，並將v加到S集合中 	for(i = 1; i < G.vexnum; i++)	//其餘G.vexnum - 1個頂點 	{ 		min = INFINITY;	//當前所知離v0點的最近距離 		for(w = 0;w < G.vexnum; i++) 		{ 			if(!final[w])	//w頂點在V - S中 			{ 				if(D[w] < min)	//w頂點離v0更近 				{ 					v = w; 					min = D[w]; 				} 			} 		} 		final[v] = TRUE;	//離v0頂點最近的v加入到S中 		 		for(w = 0;w < G.vexnum;w++)	//更新當前最算路徑及距離 		{ 			if(!final[w] && (min + G.WeiArcs < D[w])) 			{ 				D[w] = min + G.WeiArcs[v][w]; 				//p[w] = P[v] + P[w]; 				P[w] = P[v]; 				P[w][w] = TRUE; 			} 		} 	} 	return 0; }

ok，Dijkstra algorithm介紹完了。

第三節弗洛伊德算法（Floyd algorithm）
       該算法解決的是有向帶權圖中兩頂點之間最短路徑的問題。

弗洛伊德算法的設計過程如下：
       用帶權的矩陣WeiArcs來表示帶權有向圖，如果圖中的兩個頂點vi和vj是連通的，則用WeiArcs[i][j]表示這兩個頂點所形成邊的權值；如果vi和vj不連通，即<vi,vj>這條邊不存在，那麼將WeiArcs[i][j]置爲∞。
       要求：求節點vi到節點vj的最短路徑。
       設D(i,j,k)爲從節點vi到節點vj的以vk（vk∈(0,1,...k)）節點爲中間節點的最短路徑的長度。例如：從vi到vj這條路徑上經過節點vm和節點vk，那麼可表示爲：vi-->vm-->vk-->vj。

那麼，就有：1.若最短路徑經過節點vk，則D(i,j,k) = D(i,k,k-1) + D(k,j,k-1)；
                      2.若最短路徑不經過節點vk，則D(i,j,k) = D(i,j,k-1)。
所以，求的vi到vj的最短路徑可表示爲：

D(i,j,k) = min（D(i,k,k-1) + D(k,j,k-1), D(i,j,k-1)）。

老辦法，圖示的過程如下：

求解的過程見下圖：

上述過程描述的弗洛伊德算法的代碼如下：

int ShortPath(MGraph G,int v0,PathMatrix &P,ShortPathTable &D) { 	//用Floyd算法求有向圖中各對頂點v和w之間的最短路徑P[v][w]及其帶權長度D[v][w]。 	//若p[v][w][u]爲TRUE,則u是從v到w當前求得的最短路徑上的頂點 	for(v = 0;v < G.vexnum;v++) 		for(w = 0;w < G.vexnum;w++) 		{ 			D[v][w] = G.arcs[v][w]; 			if(D[v][w] < INFINITY)	//從v到w有直接路徑 			{ 				P[v][w][u] = TRUE; 				P[v][w][w] = TRUE; 			} 		} 		 	for(u = 0;u < G.vexnum;u++) 		for(v = 0;v < G.vexnum;v++) 			for(w = 0;w < G.vexnum;w++) 			{ 				if(D[v][u] + D[u][w] < D[v][w])	//從v經u到w的一條更短路徑 					D[v][w] = D[v][u] < D[u][w]; 				for(i = 0;i < G.vexnum;i++) 					P[v][w][i] = P[v][u][i] || P[u][w][i]; 			} 	return 0; }

第四節 A*搜索算法
       A*搜索算法，俗稱A星算法。這是一種在圖平面上，有多個節點的路徑，求出最低通過成本的算法。常用於遊戲中的NPC的移動計算，或線上遊戲的BOT的移動計算上。該算法像Dijkstra算法一樣，可以找到一條最短路徑；也像BFS一樣，進行啓發式的搜索。

       A*算法最核心的部分，就在於它的一個估值函數的設計上：f(n)=g(n)+h(n)。其中，g(n)表示從起始點到任一點n的實際距離，h(n)表示任意頂點n到目標頂點的估算距離，f(n)是每個可能試探點的估值。這個估值函數遵循以下特性：

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