网络流

1. 最大流

• FF

  struct edge
  {
  int from, to, cap, flow;//分别是起点，终点，容量，流量
  edge(int u, int v, int c, int f):from(u), to(v), cap(c), flow(f){}
  };
  int n, m;//n为点数，m为边数
  vector<edge>e;//保存所有边的信息
  vector<int>G[maxn];//邻接表，G[i][j]保存节点i的第j条边在e数组里面的编号
  int a[maxn];//每个点目前流经的水量
  int p[maxn];//p[i]从原点s到终点t的节点i的前一条边的编号
  void init(int n)
  {
  for(int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear();
  e.clear();
  }
  void addedge(int u, int v, int c)
  {
  e.push_back(edge(u, v, c, 0));//正向边
  e.push_back(edge(v, u, 0, 0));//反向边，容量为0
  m = e.size();
  G[u].push_back(m - 2);
  G[v].push_back(m - 1);
  }
  int Maxflow(int s, int t)//起点为s，终点为t
  {
  int flow = 0;
  for(;;)
  {
      memset(a, 0, sizeof(a));//从原点s开始放水，最初每个点的水量都为0
      queue<int>Q;//BFS拓展队列
      Q.push(s);
      a[s] = INF;//原点的水设置成INF
      while(!Q.empty())
      {
          int x = Q.front();//取出目前水流到的节点
          Q.pop();
          for(int i = 0; i < G[x].size(); i++)//所有邻接节点
          {
              edge& now = e[G[x][i]];
              if(!a[now.to] && now.cap > now.flow)
                  //a[i]为0表示i点还未流到
                  //now.cap > now.flow 说明这条路还没流满
                  //同时满足这两个条件，水流可以流过这条路
              {
                  p[now.to] = G[x][i];//反向记录路径
                  a[now.to] = min(a[x], now.cap - now.flow);
                  //流到下一点的水量为上一点的水量或者路径上还可以流的最大流量，这两者取最小值
                  Q.push(now.to);//将下一个节点入队列
              }
          }
          if(a[t])break;//如果已经流到了终点t，退出本次找增广路
      }
      if(!a[t])break;//如果所有路都已经试过，水不能流到终点，说明已经没有增广路，已经是最大流
      for(int u = t; u != s; u = e[p[u]].from)//反向记录路径
      {
          e[p[u]].flow += a[t];//路径上所有正向边的流量增加流到终点的流量
          e[p[u]^1].flow -= a[t];//路径上所有反向边的流量减少流到终点的流量
      }
      flow += a[t];//最大流加上本次流到终点的流量
  }
  return flow;
  }

• Dinic

  #include<bits/stdc++.h>
  #define me(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  typedef unsigned long long ull;
  const int mod=1e9+7;
  const int N=2e5+5;
  const int MAX=0x7fffffff;
  const int MIN=0x80000000;
  struct Edge{int to,dis,next;}edges[N];
  int head[N],edge_num=0;
  int n,m,s,t;
  int d[N];//层次  源点到i点的长度
  void add_edge(int from,int to,int dis){
  edges[edge_num]={to,dis,head[from]};
  head[from]=edge_num++;
  }
  int DFS(int u,int flow){
  if(u==t)return flow;
  int sum=0,increase;
  for(int i=head[u];~i;i=edges[i].next){
      int v=edges[i].to;
      if(d[v]==d[u]+1 and edges[i].dis>0){
          increase=DFS(v,min(flow,edges[i].dis));
          flow-=increase;
          sum+=increase;
          edges[i].dis-=increase;
          edges[i^1].dis+=increase; 
          if(flow==0)break;
      }
  }
  return sum;
  }
  bool BFS(){
  me(d,-1);
  queue<int>Q;
  d[s]=0;
  Q.push(s);
  while(!Q.empty()){
      int now=Q.front();
      Q.pop();
      for(int i=head[now];~i;i=edges[i].next){
          int v=edges[i].to;
          if(d[v]==-1 and edges[i].dis>0){
              d[v]=d[now]+1;
              Q.push(v);
          }
      }
  }
  return d[t]^-1;
  }
  int DINIC(){
  int max_flow=0;
  while(BFS())max_flow+=DFS(s,MAX);
  return max_flow;
  }
  int main(){
  me(head,-1);
  cin>>n>>m>>s>>t;
  for(int i=0;i<m;i++){
      int u,v,dis;
      cin>>u>>v>>dis;
      add_edge(u,v,dis);
      add_edge(v,u,0);
  }
  printf("%d\n",DINIC());
  }