4709: [Jsoi2011]檸檬
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Description
Flute 很喜歡檸檬。它準備了一串用樹枝串起來的貝殼，打算用一種魔法把貝殼變成檸檬。貝殼一共有 N (1 ≤ N
≤ 100,000) 只，按順序串在樹枝上。爲了方便，我們從左到右給貝殼編號 1..N。每隻貝殼的大小不一定相同，
貝殼 i 的大小爲 si(1 ≤ si ≤10,000)。變檸檬的魔法要求，Flute 每次從樹枝一端取下一小段連續的貝殼，並
選擇一種貝殼的大小 s0。如果 這一小段貝殼中 大小爲 s0 的貝殼有 t 只，那麼魔法可以把這一小段貝殼變成 s
0t^2 只檸檬。Flute 可以取任意多次貝殼，直到樹枝上的貝殼被全部取完。各個小段中，Flute 選擇的貝殼大小 s
0 可以不同。而最終 Flute 得到的檸檬數，就是所有小段檸檬數的總和。Flute 想知道，它最多能用這一串貝殼
變出多少檸檬。請你幫忙解決這個問題。
Input
第 1 行：一個整數，表示 N。
第 2 .. N + 1 行：每行一個整數，第 i + 1 行表示 si。
Output
僅一個整數，表示 Flute 最多能得到的檸檬數。
Sample Input
5
2
2
5
2
3
Sample Output
21
HINT:Flute 先從左端取下 4 只貝殼，它們的大小爲 2, 2, 5, 2。選擇 s0 = 2，那麼這一段
裏有 3 只大小爲 s0 的貝殼，通過魔法可以得到 2×3^2 = 18 只檸檬。再從右端取下最後一
只貝殼，通過魔法可以得到 1×3^1 = 3 只檸檬。總共可以得到 18 + 3 = 21 只檸檬。沒有
比這更優的方案了。
題解：
一條性質：第一個貝殼和最後一個貝殼大小一定相同
dp[i]表示做到第i個獲得的最大檸檬數。
dp[i]=max{dp[j-1]+a[i]∗(s[i]−s[j]+1)2}
s[i]表示a[i]出現的次數。
我們考慮決策的單調性(s[i]−s[j]+1)2會增大。如果在某個情況下k<j,k轉移以及比j轉移優了的話，之後的所有情況都是k優，所以我們用一個棧來維護。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
#define maxn 4001000
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n,x,cnt[101010],s[101010],a[101010];
ll f[101010];
vector<int> q[101010];
ll rd()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll cal(int x,int y){
return f[x-1]+1ll*a[x]*y*y;
}
int solve(int x,int y){
int l=1,r=n,ret=n+1;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(cal(x,mid-s[x]+1)>=cal(y,mid-s[y]+1)){
ret=mid;
r=mid-1;
}
else l=mid+1;
}
return ret;
}
void init()
{
n=rd();
}
void work()
{
rep(i,1,n)
{
x=rd();a[i]=x;
s[i]=++cnt[x];
while(q[x].size()>=2&&solve(q[x][q[x].size()-2],q[x][q[x].size()-1])<=solve(q[x][q[x].size()-1],i)) q[x].pop_back();
q[x].push_back(i);
while(q[x].size()>=2&&solve(q[x][q[x].size()-2],q[x][q[x].size()-1])<=s[i]) q[x].pop_back();
f[i]=cal(q[x][q[x].size()-1],s[i]-s[q[x][q[x].size()-1]]+1);
}
printf("%lld\n",f[n]);
}
int main()
{
init();
work();
}