奇異值分解的揭祕（一）：矩陣的奇異值分解過程

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作者：Xinyu Chen
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矩陣的奇異值分解（singular value decomposition，簡稱SVD）是線性代數中很重要的內容，並且奇異值分解過程也是線性代數中相似對角化分解（也被稱爲特徵值分解，eigenvalue decomposition，簡稱EVD）的延伸。因此，以下將從線性代數中最基礎的矩陣分解開始講起，引出奇異值分解的定義，並最終給出奇異值分解的低秩逼近問題相關的證明過程。

1 線性代數中的矩陣分解

我們在學習線性代數時，就已經接觸了線性代數中的兩個重要定理，即對角化定理和相似對角化定理，在這裏，我們先簡單地回顧一下這兩個定理。另外，在接下來的篇幅裏，我們所提到的矩陣都是指由實數構成的矩陣，即實矩陣。

給定一個大小爲 $m\times m$ 的矩陣（是方陣），其對角化分解可以寫成

$A=U\Lambda U^{-1}$

其中，的每一列都是特徵向量， $\Lambda$ 對角線上的元素是從大到小排列的特徵值，若將記作 $U=\left( \vec{u}_1,\vec{u}_2,...,\vec{u}_m \right)$ ，則

$AU=A\left(\vec{u}_1,\vec{u}_2,...,\vec{u}_m\right)=\left(\lambda_1 \vec{u}_1,\lambda_2 \vec{u}_2,...,\lambda_m \vec{u}_m\right)$

$=\left(\vec{u}_1,\vec{u}_2,...,\vec{u}_m\right) \left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_m \\ \end{array} \right]$

$\Rightarrow AU=U\Lambda \Rightarrow A=U\Lambda U^{-1}$

更爲特殊的是，當矩陣是一個對稱矩陣時，則存在一個對稱對角化分解，即

$A=Q\Lambda Q^T$

其中，的每一列都是相互正交的特徵向量，且是單位向量， $\Lambda$ 對角線上的元素是從大到小排列的特徵值。

當然，將矩陣記作 $Q=\left(\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_m\right)$ ，則矩陣也可以寫成如下形式：

$A=\lambda_1 \vec{q}_1\vec{q}_1^T+\lambda_2 \vec{q}_2\vec{q}_2^T+...+\lambda_m \vec{q}_m\vec{q}_m^T$

舉一個簡單的例子，如給定一個大小爲 $2\times 2$ 的矩陣 $A=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ ，根據 $\left|\lambda I-A\right|=\left| \begin{array}{cc} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \\ \end{array} \right|=0$ 求得特徵值爲 $\lambda_1=3$ ， $\lambda_2=1$ ，相應地， $\vec{q}_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ ，則

$A=\lambda_1 \vec{q}_1\vec{q}_1^T+\lambda_2 \vec{q}_2\vec{q}_2^T =\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ .
這樣，我們就很容易地得到了矩陣的對稱對角化分解。

2 奇異值分解的定義

在上面，對於對稱的方陣而言，我們能夠進行對稱對角化分解，試想：對稱對角化分解與奇異值分解有什麼本質關係呢？

當給定一個大小爲 $m\times n$ 的矩陣，雖然矩陣不一定是方陣，但大小爲 $m\times m$ 的和 $n\times n$ 的卻是對稱矩陣，若 $AA^T=P\Lambda_1 P^T$ ， $A^TA=Q\Lambda_2Q^T$ ，則矩陣的奇異值分解爲

$A=P\Sigma Q^T$

其中，矩陣 $P=\left(\vec{p}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_m\right)$ 的大小爲 $m\times m$ ，列向量 $\vec{p}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_m$ 是的特徵向量，也被稱爲矩陣的左奇異向量（left singular vector）；矩陣 $Q=\left(\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_n\right)$ 的大小爲 $n\times n$ ，列向量 $\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_n$ 是的特徵向量，也被稱爲矩陣的右奇異向量（right singular vector）；矩陣 $\Lambda_1$ 大小爲 $m\times m$ ，矩陣 $\Lambda_2$ 大小爲 $n\times n$ ，兩個矩陣對角線上的非零元素相同（即矩陣和矩陣的非零特徵值相同，推導過程見附錄1）；矩陣 $\Sigma$ 的大小爲 $m\times n$ ，位於對角線上的元素被稱爲奇異值（singular value）。

接下來，我們來看看矩陣 $\Sigma$ 與矩陣和矩陣的關係。令常數是矩陣的秩，則 $k\leq \min\left( m,n \right)$ ，當 $m\ne n$ 時，很明顯，矩陣 $\Lambda_1$ 和矩陣 $\Lambda_2$ 的大小不同，但矩陣 $\Lambda_1$ 和矩陣 $\Lambda_2$ 對角線上的非零元素卻是相同的，若將矩陣 $\Lambda_1$ （或矩陣 $\Lambda_2$ ）對角線上的非零元素分別爲 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$ ，其中，這些特徵值也都是非負的，再令矩陣 $\Sigma$ 對角線上的非零元素分別爲 $\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_k$ ，則

$\sigma_1=\sqrt{\lambda_1},\sigma_2=\sqrt{\lambda_2},...,\sigma_k=\sqrt{\lambda_k}$

即非零奇異值的平方對應着矩陣 $\Lambda_1$ （或矩陣 $\Lambda_2$ ）的非零特徵值，到這裏，我們就不難看出奇異值分解與對稱對角化分解的關係了，即我們可以由對稱對角化分解得到我們想要的奇異值分解。

爲了便於理解，在這裏，給定一個大小爲 $2\times 2$ 的矩陣 $A=\left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ -3 & 3 \\ \end{array} \right]$ ，雖然這個矩陣是方陣，但卻不是對稱矩陣，我們來看看它的奇異值分解是怎樣的。

由 $AA^T=\left[ \begin{array}{cc} 32 & 0 \\ 0 & 18 \\ \end{array} \right]$ 進行對稱對角化分解，得到特徵值爲 $\lambda_1=32$ ， $\lambda_2=18$ ，相應地，特徵向量爲 $\vec{p}_1=\left( 1,0 \right) ^T$ ， $\vec{p}_2=\left(0,1\right)^T$ ；由 $A^TA=\left[ \begin{array}{cc} 25 & 7 \\ 7 & 25 \\ \end{array} \right]$ 進行對稱對角化分解，得到特徵值爲 $\lambda_1=32$ ， $\lambda_2=18$ ，相應地，特徵向量爲 $\vec{q}_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ 。取 $\Sigma =\left[ \begin{array}{cc} 4\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{2} \\ \end{array} \right]$ ，則矩陣的奇異值分解爲

$A=P\Sigma Q^T=\left(\vec{p}_1,\vec{p}_2\right)\Sigma \left(\vec{q}_1,\vec{q}_2\right)^T$

$=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 4\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{2} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ -3 & 3 \\ \end{array} \right]$ .

若矩陣不再是一個方陣，而是一個大小爲 $3\times 2$ 的 $A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ ，由 $AA^T=\left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ 得到特徵值爲 $\lambda_1=5$ ， $\lambda_2=\lambda_3=0$ ，特徵向量爲 $\vec{p}_1=\left(1,0,0\right)^T$ ， $\vec{p}_2=\left(0,1,0\right)^T$ ， $\vec{p}_3=\left(0,0,1\right)^T$ ；由 $A^TA=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right]$ 得到特徵值爲 $\lambda_1=5$ ， $\lambda_2=0$ ，特徵向量爲 $\vec{q}_1=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^T$ ，令 $\Sigma=\left[ \begin{array}{cc} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ （注意：矩陣 $\Sigma$ 大小爲 $3\times 2$ ），此時，矩陣的奇異值分解爲

$A=P\Sigma Q^T=\left(\vec{p}_1,\vec{p}_2\right)\Sigma \left(\vec{q}_1,\vec{q}_2\right)^T$

$=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ .

比較有趣的是，假設給定一個對稱矩陣 $A=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ ，它是對稱矩陣，則其奇異值分解是怎麼樣的呢？

分別計算和，我們會發現， $AA^T=A^TA=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ $=\left[ \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ \end{array} \right]$ ，左奇異向量和右奇異向量構成的矩陣也是相等的，即 $P=Q=\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right]$ ，更爲神奇的是，該矩陣的奇異值分解和對稱對角化分解相同，都是 $A=\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right]$ 。這是由於對於正定對稱矩陣而言，奇異值分解和對稱對角化分解結果相同。

3 奇異值分解的低秩逼近

在對稱對角化分解中，若給定一個大小爲 $3\times 3$ 的矩陣 $A=\left[ \begin{array}{ccc} 30 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]$ ，很顯然，矩陣的秩爲 $rank\left(A\right)=3$ ，特徵值爲 $\lambda_1=30$ ， $\lambda_2=20$ ， $\lambda_3=1$ ，對應的特徵向量分別爲 $\vec{q}_1=\left(1,0,0\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(0,1,0\right)^T$ ， $\vec{q}_3=\left(0,0,1\right)^T$ ，考慮任意一個向量 $\vec{v}=\left(2,4,6\right)^T=2\vec{q}_1+4\vec{q}_2+6\vec{q}_3$ ，則

$A\vec{v}=A\left(2\vec{q}_1+4\vec{q}_2+6\vec{q}_3\right)$

$=2\lambda_1\vec{q}_1+4\lambda_2\vec{q}_2+6\lambda_3\vec{q}_3=60\vec{q}_1+80\vec{q}_2+6\vec{q}_3$

在這裏，我們會發現，即使 $\vec{v}$ 是一個任意向量，用矩陣去乘以 $\vec{v}$ 的效果取決於較大的特徵值及其特徵向量，類似地，在奇異值分解中，較大的奇異值會決定原矩陣的“主要特徵”，下面我們來看看奇異值分解的低秩逼近（有時也被稱爲截斷奇異值分解）。需要說明的是，接下來的部分是從文獻《A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix》整理而來的。

給定一個大小爲 $m\times n$ 的矩陣，由於 $A=P\Sigma Q^T$ 可以寫成

$A=\sum_{i=1}^{k}{\sigma_i\vec{p}_i\vec{q}_i^T}=\sigma_1\vec{p}_1\vec{q}_1^T+\sigma_2\vec{p}_2\vec{q}_2^T+...+\sigma_k\vec{p}_k\vec{q}_k^T$

其中，向量 $\vec{p}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_k$ 之間相互正交，向量 $\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_k$ 之間也相互正交，由內積 $\left<\sigma_i\vec{p}_i\vec{q}_i^T,\sigma_j\vec{p}_j\vec{q}_j^T\right>=0,1\leq i\leq k,1\leq j\leq k,i\ne j$ （有興趣的讀者可以自行推算）得到矩陣的F-範數的平方爲

$||A||_F^2=||\sigma_1\vec{p}_1\vec{q}_1^T+\sigma_2\vec{p}_2\vec{q}_2^T+...+\sigma_k\vec{p}_k\vec{q}_k^T||_F^2$ $=\sigma_1^2||\vec p_1\vec q_1^T||_F^2+\sigma_2^2||\vec p_2\vec q_2^T||_F^2+...+\sigma_k^2||\vec p_k\vec q_k^T||_F^2$ $=\sigma_1^2+\sigma_2^2+...+\sigma_k^2=\sum_{i=1}^{r}{\sigma_i^2}$

知道了矩陣的F-範數的平方等於其所有奇異值的平方和之後，假設 $A_1=\sigma_1\vec p_1\vec q_1^T$ 是矩陣的一個秩一逼近（rank one approximation），那麼，它所帶來的誤差則是 $\sigma_2^2+\sigma_3^2+...+\sigma_k^2$ （是矩陣的秩），不過如何證明 $A_1=\sigma_1\vec p_1\vec q_1^T$ 是最好的秩一逼近呢？

由於 $||A-A_1||_F^2=||P\Sigma Q^T-A_1||_F^2=||\Sigma-P^TA_1Q||_F^2$ （證明過程見附錄2），令 $P^TA_1Q=\alpha \vec x\vec y^T$ ，其中， $\alpha$ 是一個正常數，向量 $\vec x$ 和 $\vec y$ 分別是大小爲 $m\times 1$ 和 $n\times 1$ 的單位向量，則

$||\Sigma-P^TA_1Q||_F^2=||\Sigma-\alpha \vec x\vec y^T||_F^2$ $=||\Sigma||_F^2+\alpha^2-2\alpha \left<\Sigma, \vec x\vec y^T\right>$

單獨看大小爲 $m\times n$ 的矩陣 $\Sigma$ 和 $\vec x\vec y^T$ 的內積 $\left<\Sigma, \vec x\vec y^T\right>$ ，我們會發現，

$\left<\Sigma, \vec x\vec y^T\right>=\sum_{i=1}^{k}{\sigma_i x_i y_i}\leq \sum_{i=1}^{k}{\sigma_i\left| x_i\right|\left| y_i\right|}$

$\leq\sigma_1 \sum_{i=1}^{k}{\left| x_i\right|\left| y_i\right|}=\sigma_1\left<\vec x^*,\vec y^*\right>$ $\leq \sigma_1||\vec x^*||\cdot ||\vec y^*||\leq \sigma_1||\vec x||\cdot ||\vec y||=\sigma_1$

其中，需要注意的是，分別是向量 $\vec x$ 和 $\vec y$ 的第個元素；向量 $\vec x^*=\left(\left|x_1\right|,\left|x_2\right|,...,\left|x_k\right|\right)^T$ 的大小爲 $k\times 1$ ，向量 $\vec y^*=\left(\left|y_1\right|,\left|y_2\right|,...,\left|y_k\right|\right)^T$ 的大小也爲 $k\times 1$ ，另外，以 $\vec x^*$ 爲例， $||\vec x^*||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_k^2}$ 是向量的模，則（殘差矩陣的平方和）爲

$||\Sigma-\alpha \vec x\vec y^T||_F^2\geq ||\Sigma||_F^2+\alpha^2-2\alpha \sigma_1$ $=||\Sigma||_F^2+\left(\alpha-\sigma_1\right)^2-\sigma_1^2$

當且僅當 $\alpha=\sigma_1$ 時，取得最小值 $\sigma_2^2+\sigma_3^2+...+\sigma_k^2$ ，此時，矩陣的秩一逼近恰好是 $A_1=\sigma_1\vec p_1\vec q_1^T$ .

當然，我們也可以證明 $A_2=\sigma_2\vec p_2\vec q_2^T$ 是矩陣的最佳秩一逼近，以此類推， $A_r=\sigma_r\vec p_r\vec q_r^T,r< k$ 是矩陣 $A-A_1-A_2-...-A_{r-1}$ 的最佳秩一逼近。由於矩陣的秩爲，這樣，我們可以得到矩陣的最佳秩逼近（rank- approximation），即

$A\approx A_1+A_2+...+A_r=\sum_{i=1}^{r}{A_i}$ .

這裏得到的矩陣的大小爲 $m\times r$ ，矩陣 $\Sigma_r$ 的大小爲 $r\times r$ ，矩陣的大小爲 $n\times r$ ，矩陣可以用 $P_r\Sigma_rQ_r^T$ 來做近似。

用低秩逼近去近似矩陣有什麼價值呢？給定一個很大的矩陣，大小爲 $m\times n$ ，我們需要存儲的元素數量是個，當矩陣的秩遠小於和，我們只需要存儲個元素就能得到原矩陣，即個奇異值、個左奇異向量的元素和個右奇異向量的元素；若採用一個秩矩陣去逼近，我們則只需要存儲更少的個元素。因此，奇異值分解是一種重要的數據壓縮方法。