3D 變換中法向量變換矩陣的推導

原創 BigHalbet 2019-06-13 05:05

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設 

N 平面法向量 

{N}'爲變換後的法向量

P1   P2 爲平面兩個頂點

{P1}' {P2}'爲變換後的頂點

M 爲變換矩陣

下面推導過程使用行向量，乘法順序爲右乘

平面表達式

N * (P1-P2) = 0                                                                                   (1)

將（P1 - P2）轉置 ，點積轉換成矩陣相乘

N \bigotimes (P1 - P2)^{T} = 0                                                                             (2)

變換後仍然保持平面

{N}' \bigotimes ({P1}'-{P2}')=0                                                                            (3)

 

(P1-P2)\bigotimes M = P1\bigotimes M-P2\bigotimes M = ({P1}'-{P2}')               (4)

根據公式(1)(2)(3)(4)聯立可得

{N}'\bigotimes M^T = N

{N}' = N\bigotimes (M^T)^{-1}

推導完畢

 

資料參考

https://dev.gameres.com/Program/Visual/3D/3Dfaxiangliang.pdf

 

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