兩個月博客一直處於咕咕咕狀態，原因有兩個，第一我懶，第二我沒圖
「2017 山東一輪集訓 Day7」逆序對
題意簡述：求長度爲 \(n\) 的逆序對數恰好爲 \(k\) 的排列個數，答案對 \(10^9+7\) 取模。\(n\leq k\leq 10^5\)
首先，第 \(i\) 個數可能會和前面的數產生 \(0,1,...,i-1\) 個逆序對，所以答案等價於求 \(0\leq a_i\leq i-1,a_1+a_2+...,a_n=k\) 的方案數。
解法一：（口胡）
類似付公主的揹包，考慮生成函數 \(F(x)=1\times (1+x)\times ...\times (1+x+x^2+...+x^{n-1})\)
然後我們找規律找出 \(\text{Ln}\ (1+x+x^2+...+x^n)\)，調和級數算一算，多項式 \(\text{Exp}\) 算一算。不過模數不是 \(998244353\)，要用 \(MTT\)
時間複雜度 \(O(n\log n)\)
解法二：
我們曾解決過一個 \(naive\) 的問題，求 \(a_1+a_2+...a_n=k\) 的方案數，但其中有 \(m\) 個數有限制，其中 \(a_{p_i}<b_i\)，\(m\leq 20\)
我們知道上界不好處理，考慮容斥，枚舉哪幾個數突破限制，強制令這些數 \(a_{p_i}\geq b_i\)，然後就可以把 \(k-b_i\)，轉換成 \(simple\) 的問題——不定方程的非負整數解個數。
若 \(a_1+a_2+...a_n=k\)，那麼不定方程非負整數解的個數爲 \(\Large{n+k-1\choose k-1}\)
現在我們也類似剛剛的方法，但這個上界比較特殊，我們可以 \(dp\)。\(f[j][i]\) 表示選了 \(j\) 個數超過限制，\(\sum b=i\) 的方案數。
我們發現 \(dp\) 可以轉換成有一個容量爲 \(k\) 的揹包，物品體積爲 \(1,2,...,n\)，每個物品只能放一次，求方案數。
如果我們直接揹包的話是 \(O(n^2k)\) 的，所以考慮優化，至少我們不能枚舉物品體積。
因爲這裏物品的體積是 \(1,2,...,n\)，所以超出限制的數的個數不會超過 \(\sqrt{2k}\) 個。我們再轉換問題，求有多少個上升序列長度爲 \(j\)，和爲 \(i\) 時，其中的數 \(\in [1,n]\)
因爲是上升序列，我們逆向差分一下，令 \(b_i=a_i-a_{i+1}\)，那麼序列的和就變成了 \(\sum_{k=1}^{j}b_k\times k\)，我們也只用保證 \(b_k>0\)
這樣就好 \(dp\) 了。
對於一個長度爲 \(j\)，和爲 \(i\) 的差分後的序列，我們可以把最後一個數 \(+1\)，也可以在最後添加一個 \(1\)，\(f[j][i]=f[j][i-j]+f[j-1][i-j](i\geq j)\)
但是我們可能會出現 \(a_1>n\) 的情況，這時我們令 \(a_1=n+1\)，\(f[j][i]-=f[j-1][i-n-1](i>n)\)
爲什麼令 \(a_1=n+1\) 是對的呢？
因爲每次 \(a_1\) 最多 \(+1\)，每當 \(a_1=n+1\) 時，就會把不合法的減掉。如果從狀態 \(n+i\) 轉移到 \(n+i+1\)，那麼前面 \(j-1\) 項和爲 \(0,1,..,i-1\) 時的情況都被減過了，只用再減去和爲 \(i\) 的情況就行了。
這樣愉快的 \(dp\) 部分就結束了。
現在只要枚舉超過的和 \(i\)，把 \(dp\) 完的值乘上容斥係數後加起來再乘上 \(\Large{k-i+n-1\choose n-1}\)就行了。
時間複雜度 \(O(k\sqrt{k})\)