開學之前博客一直處於咕咕咕狀態，原因有兩個，第一我懶，第二我沒圖
Owen 頹廢了一個八月，天天看番，開學前還打了幾部 gal...爲了防止自己頹廢，開了一個博客。
09.07
記得構造 (x,y) 選哪個的時候不能 swap! 九校 D1T3 就這麼掛了。。。
09.06
codeforces VP:
983,1208,1205,925,1137,1214.1178.
Codeforces Round #545 (Div. 1) (1137)
A. Skyscrapers
離散化一下，取個 max 即可。
B. Camp Schedule
猜結論，取最長 border. 這個東西可以 kmp, 然後就直接構造。
C. Museums Tour
暴力拆點，(x,i) 向 (y,i+1) 連邊。\(5\times 10^6\) 跑 tarjan 有點卡常，而且空間也有點卡。
D. Cooperative Game
一道不錯的老題，floyd 找環法。一個點速度爲 1，一個點速度爲 2，這時正好速度爲 1 的點在環上的距離 \(x\equiv -t(\text{mod}\ c)\)，然後直接走 t 步就行了。步數大概是 3t+2c。
E. Train Car Selection
一道不錯的思維題。觀察性質，\(b,s>0\)，那麼每次放多少個，開頭那個始終是最小的，並且若在開頭放 0，那麼 0 後面的數一定沒有貢獻，全部刪掉。若有 3 操作的話，我們維護兩個標記，全局加 k,b。我們對剩下的點維護一個下凸殼，全局加的時候就暴力把結尾不符合下凸殼的數刪掉。注意，因爲有全局加標記，所以剛開始放結尾的數一定是 \((n,-kn-b)\)，n 是未加數時的序列長度。時間 \(O(m)\)。
F. Matches Are Not a Child's Play
一道不錯的數據結構題。
我們先考慮整棵樹的最大值和次大值，每次刪除的時候肯定是刪成只有次大值到最大值的路徑，然後從次大值刪到最大值。那麼我們可以知道肯定是一條條鏈刪過來，這樣的話我們用最大值爲根，LCT 上每個 splay 維護子樹最大值到根的路徑。那麼現在我們只需要單點查這個點屬於哪個最大值，那麼答案肯定是最大值<當前最大值的鏈長+這個點到次大值的距離。
這個求前綴和是帶修的，所以用樹狀數組維護。加上先前的 LCT，時間 \(O(n\log^2 n)\)，常數很小。
「2017 山東一輪集訓 Day7」逆序對
題意簡述：求長度爲 \(n\) 的逆序對數恰好爲 \(k\) 的排列個數，答案對 \(10^9+7\) 取模。\(n\leq k\leq 10^5\)
首先，第 \(i\) 個數可能會和前面的數產生 \(0,1,...,i-1\) 個逆序對，所以答案等價於求 \(0\leq a_i\leq i-1,a_1+a_2+...,a_n=k\) 的方案數。
解法一：（口胡）
類似付公主的揹包，考慮生成函數 \(F(x)=1\times (1+x)\times ...\times (1+x+x^2+...+x^{n-1})\)
然後我們找規律找出 \(\text{Ln}\ (1+x+x^2+...+x^n)\)，調和級數算一算，多項式 \(\text{Exp}\) 算一算。不過模數不是 \(998244353\)，要用 \(MTT\)
時間複雜度 \(O(n\log n)\)
解法二：
我們曾解決過一個 \(naive\) 的問題，求 \(a_1+a_2+...a_n=k\) 的方案數，但其中有 \(m\) 個數有限制，其中 \(a_{p_i}<b_i\)，\(m\leq 20\)
我們知道上界不好處理，考慮容斥，枚舉哪幾個數突破限制，強制令這些數 \(a_{p_i}\geq b_i\)，然後就可以把 \(k-b_i\)，轉換成 \(simple\) 的問題——不定方程的非負整數解個數。
若 \(a_1+a_2+...a_n=k\)，那麼不定方程非負整數解的個數爲 \(\Large{n+k-1\choose k-1}\)
現在我們也類似剛剛的方法，但這個上界比較特殊，我們可以 \(dp\)。\(f[j][i]\) 表示選了 \(j\) 個數超過限制，\(\sum b=i\) 的方案數。
我們發現 \(dp\) 可以轉換成有一個容量爲 \(k\) 的揹包，物品體積爲 \(1,2,...,n\)，每個物品只能放一次，求方案數。
如果我們直接揹包的話是 \(O(n^2k)\) 的，所以考慮優化，至少我們不能枚舉物品體積。
因爲這裏物品的體積是 \(1,2,...,n\)，所以超出限制的數的個數不會超過 \(\sqrt{2k}\) 個。我們再轉換問題，求有多少個上升序列長度爲 \(j\)，和爲 \(i\) 時，其中的數 \(\in [1,n]\)
因爲是上升序列，我們逆向差分一下，令 \(b_i=a_i-a_{i+1}\)，那麼序列的和就變成了 \(\sum_{k=1}^{j}b_k\times k\)，我們也只用保證 \(b_k>0\)
這樣就好 \(dp\) 了。
對於一個長度爲 \(j\)，和爲 \(i\) 的差分後的序列，我們可以把最後一個數 \(+1\)，也可以在最後添加一個 \(1\)，\(f[j][i]=f[j][i-j]+f[j-1][i-j](i\geq j)\)
但是我們可能會出現 \(a_1>n\) 的情況，這時我們令 \(a_1=n+1\)，\(f[j][i]-=f[j-1][i-n-1](i>n)\)
爲什麼令 \(a_1=n+1\) 是對的呢？
因爲每次 \(a_1\) 最多 \(+1\)，每當 \(a_1=n+1\) 時，就會把不合法的減掉。如果從狀態 \(n+i\) 轉移到 \(n+i+1\)，那麼前面 \(j-1\) 項和爲 \(0,1,..,i-1\) 時的情況都被減過了，只用再減去和爲 \(i\) 的情況就行了。
這樣愉快的 \(dp\) 部分就結束了。
現在只要枚舉超過的和 \(i\)，把 \(dp\) 完的值乘上容斥係數後加起來再乘上 \(\Large{k-i+n-1\choose n-1}\)就行了。
時間複雜度 \(O(k\sqrt{k})\)
最近啃了一篇 rxd 的論文，關於樹上連通塊問題的，總結一下。
若連通塊包含根，可以按照 dfs 序轉移，用揹包確定切掉哪些子樹。
點數-邊數=1，可以配合上一條使用，就是算出強制包含一個點-強制包含一條邊的方案數，具體見完美的集合，因爲有個組合數取模我沒做。
用線段樹合併維護整體 dp，PKUSC2019D2T1 就是整體 dp 的板子題，在線段樹上維護加法和乘法標記。有一些 dp 是在葉子結點只有有限個狀態，可以不用線段樹合併，用平衡樹合併，比如 ZJOI2019 Minimax 搜索和 PKUWC2018 Minimax。
若是連通塊最優化或計數問題，可以在深度最淺處統計答案。如 Qtree6,7。
動態 dp，一般寫樹剖就夠了，除非出題人惡意卡。對於一些乘法形式的 dp，我們選擇記錄答案和 0 的個數，額外開個結構體使 0 值可除。
基於 LCT 的數據結構 Top Tree （沒學，咕咕咕）
腦子不夠用了，一些 sb 狀壓 dp 都想不出來，總結一下。
最小/最大表示法，以最小/最大值表示一個集合，若有多個最小值用編號最小的那個。
一個 dp 狀態難轉移，就開兩個，如限制每個點子樹大小的有根樹計數，可以用樹/森林的方案數來表示狀態。
二進制不好表示狀態，可以用三進制，如給你一個最長上升子序列方案數。
枚舉子集 \(O(3^n)\)。