賭徒輸光 酒鬼回家 長期雙方競賽問題

前言：僅個人小記。

一、 問題原型

1. 賭徒手裏有 x 元，每一局輸的概率恆定爲 p ，請問賭徒最終輸光的概率？
2. 酒鬼徘徊（在座標軸上左右移動）回家，目前酒鬼在座標軸上 x 處，家在原點 0 處，請問酒鬼最終回到家的概率爲多少？
3. 比特幣中（中本聰的文章引入Gambler’s Ruin problem）兩條鏈比賽輸贏的概率問題，具體就是攻擊者最終挖得的鏈比誠實者挖出的塊兒要更多，此時攻擊者就可以堂而皇之地取而代之，問題就是估算攻擊者的勝算，以及當誠實者超前攻擊者多少塊的時候可以從概率上給予”無法篡改“這一保證。

二、拋出疑問

1. 賭徒輸光指的是連續輸掉手裏的所有錢嗎？是連續嗎？
2. 輸掉一元錢指的就是輸掉本局嗎？

三、前要分析和交代

1.賭徒剛開始手中的錢記爲 $x_0$,到輸光這個過程記爲序列
$x_0,x_1,...,x_n，x_i=\not x_n,i<n,x_n=0$即強調 “賭徒輸光”指的是“賭徒第一次手裏沒錢，賭局結束”，不存在比如
$1元 \rightarrow0元\rightarrow -1元\rightarrow 0元$ 即，不存在經過 0 元的情況。0 元只能出現一次，而且是出現在終點。
2. 記酒鬼回到家的軌跡爲序列
$x_0,x_1,...,x_n,x_i=\not x_n,i<n,x_n=家的位置座標$即強調，”酒鬼從 x 移到 y 處“指的是”酒鬼第一次碰到 y 處，即刻停止移步“，不存在比如$x\rightarrow...\rightarrow y\rightarrow...\rightarrow y$即強調 y 在軌跡中只能出現一次而且是在終點。

四、回答疑問

1. 根據上述1,2兩點知道，輸掉1元絕對不是輸掉本局局，而是指過程
   $x_0\rightarrow ... \rightarrow x_0-1,x_i=\not x_0-1$顯然這個序列可以有無窮多種方式，進而知
   $P(輸掉1元)=\not P(輸掉本局) = p$
2. 賭徒輸光也絕不是連續輸掉$x_0$局，而是指過程$x_0\rightarrow ...\rightarrow x_n,x_i=\not 0,i<n,x_n=0$顯然這個序列也是有無窮多種，進而知$P(賭徒輸x_0元)=\not P(賭徒連續輸掉x_0局)=p^{x_0}$

五、推出一些結論

5. 根據以上幾點，進一步可以得知，過程 A ：$x_0\rightarrow ... \rightarrow x_n$可以根據第一局輸贏拆解爲過程B：$x_0\rightarrow x_0-1\rightarrow ...\rightarrow x_n$和過程C： $x_0\rightarrow x_0+1\rightarrow...\rightarrow x_n$，即如圖
   進而概率上有，
   $P(過程A)=P(過程B|第一局輸)P(第一局輸)+P(過程C|第一局贏)P(第一局贏)\\=P(過程B|第一局輸)p+P(過程C|第一局贏)(1-p)$
6. 賭徒輸光 $x_0$ 元錢可以等價爲賭徒輸掉k 元達到 $x_0-k$這個狀態，然後再從 $x_0-k$ 輸光。即過程 A ：$x_0\rightarrow ... \rightarrow x_n$還可以拆解爲過程B:$x_0\rightarrow...\rightarrow x_0-k$ 然後緊接着過程C：$x_0-k\rightarrow...\rightarrow x_n$

進而概率上有，
$P(過程A) = P(過程B)P(過程C)$ 進而當取 $x_n=0,k=x_0-1$時，$過程A： x_0\rightarrow...\rightarrow0$$過程B： x_0\rightarrow...\rightarrow x_0-k,即x_0\rightarrow...\rightarrow1$$過程C：1\rightarrow...\rightarrow0$進而下式子恆成立，即$P( x_0\rightarrow...\rightarrow0)=P(x_0\rightarrow...\rightarrow1)P(1\rightarrow...\rightarrow0)$

六、正式解決問題

賭徒剛開始手裏有 n 元錢，然後輸光的概率記爲 P(n)即對應於過程

$x_0\rightarrow ... \rightarrow x_n，x_0 =n,x_i=\not 0,i<n,x_n = 0$ 則根據前要第 5 點有

$P(n)=P(n-1)p+P(n+1)(1-p)$根據前要第 6 點又有

$P(n)=P(n-1)P(1)$又顯然 P(0) = 1(即賭徒一開始手裏就是0元，那直接就是輸光，故而輸光概率爲 1)，進而
$P(2)=P(2-1)P(1)=P(1)^2\\P(1)=P(0)p+P(2)(1-p)=p+P(2)(1-p)$結合兩個式子得到$P(1)=p+P(1)^2(1-p)$這是一個一元二次方程，解得
$P(1)_1=\frac{p}{1-p},P(1)_2=1(捨去)$
進而
$P(n)=P(n-1)P(1)=P(n-2)P(1)^2=...=P(1)^n={(\frac{p}{1-p})}^n$