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在求解最優化問題中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）條件是兩種最常用的方法，即：
- 拉格朗日乘子法：在有等式約束時使用拉格朗日乘子法；
- KKT條件：在有不等約束時使用KKT條件。
1. 最優化問題三種情況
我們這裏提到的最優化問題通常是指對於給定的某一函數，求其在指定作用域上的全局最小值（因爲最小值與最大值可以很容易轉化，即最大值問題可以轉化成最小值問題）。提到KKT條件一般會附帶的提一下拉格朗日乘子。對學過高等數學的人來說比較拉格朗日乘子應該會有些印象。二者均是求解最優化問題的方法，不同之處在於應用的情形不同，KKT條件是對拉格朗日乘子法的一種泛化。
一般情況下，最優化問題會碰到一下三種情況：
1.1 無約束條件
這是最簡單的情況，解決方法通常是函數對變量求導，令求導函數等於0的點可能是極值點。將結果帶回原函數進行驗證即可。
1.2 等式約束條件：拉格朗日乘子法
設目標函數爲f(x)，約束條件爲h_k(x)，形如:
s.t. 表示subject to ，“受限於”的意思，
則解決方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比較簡單不在贅述，這裏主要講拉格朗日法，因爲後面提到的KKT條件是對拉格朗日乘子法的一種泛化。
拉格朗日乘子法的求解流程大概包括以下幾個步驟：
1）構造拉格朗日函數
2）解變量的偏導方程
3）代入目標函數即可
關鍵在於構造拉格朗日函數，後面求解實際上就是高數裏面基本的求偏導數的問題了。我們不妨另：
然後分別對每一個變量求導，得出來的解代入目標函數就ok了！
例如：求這個橢球的內接長方體的最大體積
在條件
下，求
最大值。
這個問題實際上就是條件極值問題，即在條件（1） 下，求
當然這個問題實際可以先根據條件消去 z (消元法)，然後帶入轉化爲無條件極值問題來處理。但是有時候這樣做很困難，甚至是做不到的，這時候就需要用拉格朗日乘數法了。
首先定義拉格朗日函數F(x)：
然後解變量的偏導方程：
如果有
回到上面的題目，通過拉格朗日乘數法將問題轉化爲
對
聯立前面三個方程得到
帶入解得最大體積爲：
1.3 不等式約束條件：KKT
設目標函數f(x)，不等式約束爲g(x)，有的教程還會添加上等式約束條件h(x)。此時的約束優化問題描述如下：
則我們定義不等式約束下的拉格朗日函數L，即廣義拉格朗日函數：
其中，
常用的方法是KKT條件，同樣地，把所有的不等式約束、等式約束和目標函數全部寫爲一個式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，
KKT條件是說最優值必須滿足以下條件：
1）L(a, b, x)對x求導爲零；
2）h(x) =0;
3）a*g(x) = 0;
求取這些等式之後就能得到候選最優值。其中第三個式子非常有趣，因爲g(x)<=0，如果要滿足這個等式，必須a=0或者g(x)=0. 這是SVM的很多重要性質的來源，如支持向量的概念。
基於KKT條件，不等式約束條件的問題基本也就解決了，下面來說說我自己的一點心得吧！
第一點：拉格朗日乘子法求解優化問題是很有效的方法，對於限制條件比較多的情況下，特別是限制條件較爲複雜的情況下，利用該方法可以很容易的求解出來。
第二點：約束條件其實就是限定了問題的解決範圍，學會如何轉化和考量限制條件是解決問題的關鍵。
第三點：基礎知識的重要性，比如說高數如果學不好的話。
2. Lagrange對偶函數
2.1 對偶函數與原問題的關係
原始問題：
假設f(x),ci(x),hj(x)是定義在Rn上的聯繫可微函數，考慮約束條件下最優化問題：
稱此約束最優化問題爲原始問題。
廣義拉格朗日函數
Lagrange對偶函數：
定義拉格朗日對偶函數或者對偶函數g爲拉格朗日函數關於x取得的最小值，即對α、β，有：
通俗理解就是每確定一組(α，β)，就要找到一個x使得L最小，不同的(α，β)對應不同的g函數值。
對偶函數與原問題的關係：
所以對偶函數是原問題的最優值下界，雖然不等式成立，但是如果α<0，並且讓α趨近於負無窮，這個時候g(α,β)=-∞，雖然也滿足不等式，但是此時沒有任何意義。所以只有當α≥0，這個時候g(α,β)＞-∞時，對偶函數才能給出原目標函數一個非平凡有意義的下界，稱此條件下的(α,β)是對偶可行的。圖示如下：
在圖中，實線代表的是目標函數f(x)，而虛線代表的是約束條件c(x)，彩色的點線代表λ取不同值的時候對應的拉格朗日函數L。我們可以看到，在約束條件可行(c(x)≤0)的區間內，拉格朗日函數都是小於目標函數的。在可行區間內，目標函數的最值將在x = -0.46處取得p∗=1.54。
爲什麼對偶函數一定是凹函數呢？
其實L可以理解爲一個以固定x帶入c(x)和h(x)作爲常數值係數，α、β作爲變量的仿射函數。所謂仿射函數，就是f(x)=a*x+b形式，其實就是線性函數了。
所以，g(α,β)爲很多個仿射函數的逐個x取值點取最小值：
L=Aα+Bβ+C 其中：A=c(x) B=h(x) C=f(x)
例如：L=2α+3β+1，L=α+2β+4， L=5α+β+3等等。
便於理解，先不考慮β，這樣大致展示的圖像就是如下：
裏面的每一條直線，都是以某一固定x作爲係數，α作爲變量的線性函數的直線，也就是當x固定時候，隨着α的變化，L的值不斷髮生變化。
當我們沿着L所在軸豎着切下來的時候，也就是圖中個藍色線，這個時候其實就是α固定，而對應不同的x情況下，L值的一個變化範圍。由圖可知，紅色線就是每次固定α，而找到一個x，使得L最小的走勢線，也就是g(α,β)的函數曲線，如下圖：
凹折線就是g(α,β)的曲線，水平虛線就是原問題的最優函數值P*。由此可知，無論原問題和約束條件是什麼樣的，對偶函數都是凹函數，且都小於等於原問題最優值。
2.2 Lagrange對偶問題
對於任意一組(α，β)，其中α≥0，拉格朗日對偶函數給出了原問題的最優值的一個下界，因此，我們可以得到和參數α、β相關的一個下界。一個自然問題是：從Lagrange函數能得到的最好下界是什麼？可以將這個問題表述爲優化問題：
上述問題就稱之爲Lagrange對偶問題。
前面講只有當α≥0，g(α,β)＞-∞時此時纔有意義，滿足這樣一組條件的(α，β)是上述對偶問題的一個可行解。如果一個解（α*，β*)是上述對偶問題的最優解，則稱解(α*，β*)是對偶最優解或者最優Lagrange乘子。
此時對偶問題是一個凸優化問題，這是因爲極大化目標函數是一個凹函數，且約束集合是一個凸集。
（1）弱對偶性
Lagrange對偶問題的最優值，我們用
即使原問題不是凸問題，上述不等式也成立，這個性質稱爲弱對偶性。
（2）強對偶性
與弱對偶性相對應的有一個強對偶性（strong duality） ，強對偶即滿足：
強對偶是一個非常好的性質，因爲在強對偶成立的情況下，可以通過求解對偶問題來得到原始問題的解，在 SVM 中就是這樣做的。當然並不是所有的對偶問題都滿足強對偶性 ，在 SVM 中是直接假定了強對偶性的成立，其實只要滿足一些條件，強對偶性是成立的，比如說 Slater 條件與KKT條件。
（3）KKT條件
假設x*是原始問題的最優解，α*和β*是對偶問題的最優解。如果強對偶成立，那麼原問題最優解和對偶問題最優解必須滿足KKT條件，屬於充分必要條件。
參考：