gym 101667 A -Broadcast Stations【樹形dp】

A 樹形dp

題目大意：

一棵5e3的樹，可以選擇一些點，放上基站，如果u上的基站價值爲d，那麼距離u小於等於d的點都會被覆蓋，問使得整棵樹被覆蓋需要的最小价值。

題目分析

設 $f[u][i]$ 表示從 u這個點 ，向外最多能覆蓋 到距離爲i的點，且他的子樹都被覆蓋的最小价值。

那麼我們考慮 $f[u][i]$ 可能是在u這個點建立了一個價值爲i的基站，也可能是他的子樹能夠覆蓋到 i+1

因此 我們還需要統計 u這個點 距離他的i的子樹全被覆蓋所需的最小价值

定義爲 g[u][i]
$g[u][i] = \sum g[v][i-1]$

所以我們考慮 $f[u][i] = min(f[v][i+1] -g[v][i],j)+g[u][i+1]$

$f[v][i+1] -g[v][i]$ 表示這個v這個點最多能往外延伸到i+1的距離，（也就是刪去的v的子樹）
這樣在樹上進行dp就可以了。

考慮邊界情況
我們在計算 f[u][0] 的時候， 不能直接選擇 j ，因爲只有 u這一個點的時候也需要消耗 1的價值，所以我們特判 f[u][0]的情況

代碼詳情

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3+50;
const int mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
vector<int>G[maxn];
int g[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn]; 
int n;
void dfs(int u,int fa)
{
//	cout<<u<<" fa= "<<fa<<endl;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++) 
	{
		
		int v = G[u][i];
		if(v!=fa)
		{
			dfs(v,u);
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				g[u][j] += g[v][j-1];
			}
		}
	}
	f[u][n]= n; //表示 U點 覆蓋所有點需要的價值，最大是n 
	g[u][0] =n; // 初始化g[u][0]  u的子樹全覆蓋的情況
	
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		if(i!=0)
		f[u][i] = min(i+g[u][i+1],f[u][i+1]); //在某個位置新建一個基站 
		else if(i==0)
	  //特判=0的時候， f[u][0]表示子樹都被覆蓋，只覆蓋u這個點的時候也需要1個 
		{
			f[u][i] = min(1+g[u][2],f[u][i+1]);
		 }
		for(int j=0;j<G[u].size();j++)
		{
			int v = G[u][j];
			if(v!=fa)
			{
				f[u][i] = min(f[u][i],f[v][i+1]-g[v][i]+g[u][i+1]);
			}
		} 
	} 
	
	g[u][0] =f[u][0];
	
	for(int i=1;i<=n;i++) g[u][i] = min(g[u][i],g[u][i-1]);
	//對於所有的子樹，很顯然滿足這個關係。確保更新的值合理。 
	 
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	memset(g,0,sizeof(g));
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
//	cout<<1<<endl;
	dfs(1,0);
//	cout<<2<<endl;
	printf("%d\n",g[1][0]); 
	return 0;
}