排列組合總結+第一第二類strling數//SDNU1011+HDU4372

第一行照例本鴿子精咕咕咕。

 

以下爲正文：

一、基礎計算

1.基礎計算指的是給定一個n,k計算，一般來說直接利用公式計算即可。

2.但這種情況一般會涉及到爆long long的問題，需要進行mod，衆所周知，除法不能進行模運算，所以可用

    ①乘法逆元來做(逆元的博客我還沒寫，寫了再放上來)

    ②另一個公式，利用數組遞推求得，過程中不停取模。

    類似於這道題：SDNU1311，我用②做的。

下附遞推公式：

    for(int i = 0; i <= 1000; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= i; ++j)
        {
            if(i == j)
                dp[i][j] = 1;
            else
                dp[i][j] = (dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j])%mod;
        }
    }

其實還有很多其他公式，由ryc師哥提供一個文件，我放到網盤裏了，永久有效，歡迎自行下載。提取碼 77vd

其他：其實做了一段時間水題後，過了剛入坑的萌新階段後，你會發現基礎計算其實少的可憐，所以就涉及到下面的知識了。

 

 

二、第一類斯特林數

1.多用於求p個不同人圍k個相同圓桌而坐，要求各桌非空，其不同方案數（環形）

2.①首先我們想到，當第p個人要坐時，有兩種可能。

  ② 前p-1個人坐了k-1個桌，自己一個人坐一桌；前p-1個人坐了k桌，他隨便坐。（這裏需要注意，隨便坐是指隨便某桌的某人邊上，即直接考慮他坐在哪個人旁邊即可）。

  ③可得公式dp[n][k] = dp[n-1][k-1]+(n-1)dp[n-1][k]，這裏乘n-1的原因如括號內解釋。

注：其實第一類斯特林數還有好多應用，但我不會（理直氣壯），留個坑。

練習題目：HDUOJ4372

思路：

①首先我們要知道：n的環排列的個數與n-1個元素的排列的個數相等。（當n個元素線性排列時爲n!，但成環時會重複，ex：12345，54321爲同一個環）

②根據題意，我們可以知道，往右往左看，最高的樓都是可以看到的，那麼我們以最高樓爲分界線，最高樓一組，左邊分爲f-1組，右邊分爲b-1組（左看f組，右看b組）。用每組最高元素代表並截取該組（其餘元素任意排列），那麼組與組中的最高元素一定是單調遞增的，且最高元素一定在最左or最右，那麼本組的元素線性排列，就相當於整體元素的全排列。

③所以，整體的結果就是先把n-1個元素分成f-1+b-1組（去掉最高元素），之後把組內元素進行環排列（也就是第一類斯特林），乘起來即爲結果。

但實際上我還是不明白代碼中公式的原因，我是辣雞。留個坑。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MOD 1000000007
#define ll  long long
using namespace std;

ll s[2005][2005] = {0};//strling
ll c[2005][2005] = {0};//組合數

void init()
{
    for(int i = 1; i <= 2000; ++i)
        s[i][0] = 0,c[i][0] = 1;
    c[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 2000; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
        }
    s[0][0] = 0;
    s[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 2000; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            s[i][j] = (s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j])%MOD;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        int f,b;
        ll ans;
        scanf("%d%d%d",&n,&f,&b);
        if(f+b-2 <= 2000)
            ans = (c[f+b-2][f-1]*s[n-1][f+b-2])%MOD;
        else
            ans = 0%MOD;//防止re,WA了n次都因爲這個
        printf("%lld\n",ans%MOD);
    }
    return 0;
}

 

 

三、第二類斯特林數

1.多用於求n個有區別小球，要放進m個相同盒子裏，且每個盒子非空的方案數

2.同樣，最後一個球，有兩種情況：前n-1個球放到了m-1個盒中它自己一個盒，或者前n-1個球放到了m個盒中，它隨便放。

我覺得這個比第一類好理解，算了，覺得難理解大概因爲我是個辣雞

題目練習：SDNU1011

但是這個題要注意的是，因爲題目中盒子是不同的，所以需要在最後將盒子進行全排列，所以爲*

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

ll j(int x)
{
    ll res = 1;
    for(int i = 1; i <= x; ++i)
        res *= i;
    return res;
}

int main()
{
    int n,r;
    ll dp[11][11];
    scanf("%d%d",&n,&r);
    ll a = j(r);
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= r; ++j)
        {
            if(i == 0)
            {
                dp[i][j] = 0;
            }
            else
            {
                if(j == 0 || i == 0 || i < j)
                    dp[i][j] = 0;
                else if(j == 1 || i == j)
                    dp[i][j] = 1;
                else
                {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1];
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld",dp[n][r]*a);
    return 0;
}

 

 

現穿插博文無關回憶：

突然想起高二學排列組合的時候。

劍哥在講臺上用一張講義講了十幾種情況方法，然而我日常上課睡覺划水啥都沒學進去。後來學委從電教樓二樓穿過萃英廣場，爬到教學樓四樓，花一個大課間的時間給我詳細講各種排列組合。

那時候她停課學數競，每天都很忙，卻還是願意因爲我隨口的一句“你能不能教教我排列組合”，而來回好幾次（有的大課間我出去不在，有的我在睡覺）（是的我成績不好都是我自己作的）（但你能相信她甚至拿了張紙備課嗎）（我當時特想讓她把那張紙留下但沒好意思開口）。

她真好啊，那時候也真好啊。

懷念後繼續往前走。

 

 

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