【算法設計與分析】09 遞推方程與算法分析

關於什麼是遞推方程，這裏就不再多說了。本文主要講講簡單的遞推方程來求解算法的時間複雜度

1. 遞推方程的引入

漢諾塔問題大家都知道，現在以漢諾塔問題來引入遞推方程，可以參考文章離散數學中的數據結構與算法】十 漢諾塔

我們知道漢諾塔的遞歸算法對應的遞推式子爲：

T(n) = 2 T(n-1) + 1 ,T(1)=1 上述的式子，即爲遞推方程。

1.1 插入排序時間複雜度求解

設插入排序的基本運算是元素的比較，對規模爲n的輸入，最壞的情況下的時間複雜度爲W（n），則可以列出遞推方程式。

W(n) = W(n-1) + n-1 , W(1) = 0

很容易求出上述的W(n) = n(n-1) / 2

1.2 二分歸併排序時間複雜度求解

設二分歸併排序的最壞情況下時間複雜度W（n）

則由二分歸併算法得出時間複雜度的式子：

W(n) = 2 * W(n/2) + n - 1,W(1) = 0

上述的式子並不是很好求解。可以用換元法求解（另n = 2^k）

然後再根據迭代求解得出$W（n）=n log n - n + 1$

2 總結

學會使用遞推方程來求解算法的時間複雜度，使用各種技巧進行求解。並學會使用數學歸納法對結果進行驗證。