CSP-S 複習總結 ---- DP

前言：最近刷了一些水題…

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CH5E26
題意：一副不含王的撲克牌由52張牌組成，由紅桃、黑桃、梅花、方塊4組牌組成，每組13張不同的面值。現在給定 52 張牌中的若干張，請計算將它們排成一列，相鄰的牌面值不同的方案數
計數 $dp$
考慮到剩 1 張花色，剩 2 張花色 … 本質是一樣的
令 $f_{a,b,c,d}$ 表示還剩 $a$ 種剩一個花色的，$b$ 種剩兩個花色的
如果選一個只剩一種花色的
$f_{a,b,c,d}=a*f_{a-1,b,c,d}$
選剩兩種花色的
$f_{a,b,c,d}=2*b*f_{a+1,b-1,c,d}$
等等，好像會算重
考慮上一次選的什麼，發現與這一層有關的，只與上一層剩幾個花色有關
如果上一層選的剩 3 種花色的，那麼這一層就有一種 2 種花色的不能選
於是記錄 $las$
$f_{a,b,c,d}=(a-[las=2])*f_{a-1,b,c,d}$
$f_{a,b,c,d}=2*(b-[las=3])*f_{a+1,b-1,c,d}$
$f_{a,b,c,d}=3*(c-[las=4])*f_{a,b+1,c-1,d}$
$f_{a,b,c,d}=4*d*f_{a,b,c+1,d-1}$

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HDU 2196
給一棵樹，求從每一個點出發的最長距離 $n\le 1e5$
先做一遍樹形 $dp$，求出每個點向下的最長路徑
考慮從祖先轉移過來的，爲 $max$ ( 祖先向下的最長路，祖先繼續向上的最長路）
等等，好像出鍋了，如果祖先向下的最長就是自己呢
於是還要處理出次長鏈，兩次 dp 就可以了

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IOI 2000 郵局
題意：選出 $m$ 個郵局，$n$ 個村莊，每個村莊會走到離它最近的郵局，問總代價的最小值
暴力轉移：
$f_{i,j}=f_{k,j-1}+cost(k+1,i)$
首先有一個不是正解的東西：
考慮到選的郵局越多就一定越優，於是可以讓每選一個郵局就加上一個 $mid$，然後二分 $mid$ 直到選出來的個數正好是 $m$，俗稱 $dp$ 凸優化
正解：四邊形不等式
感性理解：令 $f_{i,j}$ 的決策點爲 $p_{i,j}$，則 $p_{i,j-1}\le p_{i,j}\le p_{i+1,j}$
因爲如果少了一個郵局，就更加分散，決策點更靠前
所有當前的決策點在 $[p_{i,j-1},p_{i+1,j}]$，對複雜度的貢獻就是 $p_{i+1,j}-p_{i,j-1}$，求個和可以證明是 $O(nm)$

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POJ 1191
拆方差
$\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2=n*\overline x^2+\sum_{i=1}^n x_i^2-2*n*\overline x^2$
需要最小化 $\sum_{i=1}^n x_i^2$
$f_{x1,y1,x2,y2,k}$ 表示當前矩陣，還可以分割 $k$ 次的最小代價
枚舉橫切還是豎切，記憶化搜索

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POJ 1390
題意：給你一個顏色塊序列，每次你可以刪除一些相同顏色並且相鄰的顏色塊，並獲得刪除數目平方的收益，現在給你一個顏色塊序列，問收益最大是多少？
挺好的題，比較容易想到區間 $dp$，$f_{l,r}$ 表示區間 $[l,r]$ 的最優方案
發現沒法轉移，考慮加維度
$f_{l,r,k}$ 表示 $[l,r]$，$r$ 後有 k 個更它顏色相同的塊的最優方案
枚舉當前是見好就收還是放手一搏
$f_{l,r,k}=max(f_{l,r-1,0}+k^2,f_{l,p,cnt_p+k}+f_{p+1,r-1,0})(col_p=col_i)$

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POJ 2288
題意：給出 n 個點，m 條邊。每個點有一個權值 w。找出一條漢密爾頓路徑，使它的值最大
一條漢密爾頓路徑的值由三部分組成：
路徑上每個點的權值之和
路徑上每條邊u-v，將其權值的積累加起來。即 $w[u]*w[v]$
如果三個點形成一個三角形，例如 i，i+1，i+2，那麼將$w[i]*w[i+1]*w[i+2]$累加起

考慮如何加入三角形的貢獻，需要加兩維，$f_{S,i,j}$ 表示當前狀態，上一個是 $i$，上上個是 $j$ 的最大貢獻
枚舉下一個轉移即可

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POJ 2374
自己寫的時候從上往下 dp，細節有點多，其實可以倒過來，從下往上走
$dp_{i,0/1}$ 表示走到第 i 層，在左 / 右端點的最小長度
顯然只能由它的端點往下走碰到的第一塊來轉移
於是走過一塊就在線段樹上更新，權值爲它的層數，轉移的時候線段樹上查一個 $max$ 即可

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POJ 3252
數位$dp$，$f_{i,j,k}$ 表示到了第 i 位，有 j 個 0，k 個 1 的個數
前導 0 不能算到 0 的貢獻裏，記憶化搜索就過了

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POJ 3709
首先如果要縮一段的話，一定縮成開頭
$f_i$ 表示縮到 i 的最小代價，枚舉從哪一個開始縮
$f_i=min(f_j+sum_i-sum_j-(i-j)*a_{j+1})$
斜率優化即可

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SCOI 2010 股票交易
$f_{i,j}$ 表示到第 i 天，有 j 份股票的最大收益，枚舉從哪一天轉移，當前是買進還是買出，轉移前的股票數
買進：$f_{i,j}=max(f_{p,k}-(j-k)*ap_i)(p\in[1,i-w-1],k\in[j-as_i,j))$
賣出：$f_{i,j}=max(f_{p,k}+(k-j)*bp_i)(p\in[1,i-w-1],k\in(j,j+bs_i])$
$p$ 用前綴 $max$，每次 $f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i-1,j})$ 即可
然後括號拆開就可以單調隊列了

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CF1103D Professional layer
題意簡述：給 n 個二元組和一個 k。 二元組 $(a_i,e_i)$表示第i個位置的權值是 ai，貢獻是 ei。 現在對於每個位置可以讓它的權值除以它自己一個不超過k的約數，要求從n個數中選擇若干個數出來，使得它們的權值在除以約數過後的 $gcd$爲 1，花費的代價是選出來的選擇數的個數乘上選出來的所有數的貢獻和

考慮到最後的 $gcd$ 一定是一個不超過 $1e12$ 的數
$gcd$ 可以分解爲不超過 12 個約數
又有狀壓約數集合的影子
令 $gcd=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}$
對於一個要記入答案的數 $val$
令 $val = t*p_1^{b_1}*p_2^{b_2}*...*p_k^{b_k}$
我們選了它更優當且僅當它可以把一個或多個 $b_i$ 消成 0
這樣一來，每個數至少去掉一個 $p_i$
因此最多選擇 12 個數就可以把 $gcd$ 消爲 1
令 $f_{i,S}$ 表示選了 i 個數，已經消去的 $gcd$ 的集合爲 $S$ 的方案數
然後就可以枚舉超集轉移

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CF1106E Lunar New Year and Red Envelopes
$f_{i,j}$ 表示到 i，干擾了 j 次的最小貢獻
枚舉當前幹不幹擾轉移即可，預處理 $nxt_i$ 表示 i 能轉移到哪裏
$f_{i,j}+w[i]---f_{nxt[i],j}$
$f_{i,j}---f_{i+1,j+1}$

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CF1111D Destroy the Colony
發現如果不限制的話 $ans=f_{n/2}*\frac{(n/2)!*(n/2)!}{\prod cnt_i}$
$f_i$ 表示用所有數組成 i 的方案數，可以揹包
考慮預處理答案，每次強制兩個不選，然後做一遍，複雜度 $O(52^3*n)$
然後學了一個叫揹包回退的東西

void ins(int x){ for(int i = n/2; i >= x; i--) Add(f[i], f[i-x]);}
void del(int x){ for(int i = x; i <= n/2; i++) Del(f[i], f[i-x]);}

插兩個數的答案時暴力刪除，變成了 $O(52^2*n)$

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小總結：
總的來說還是一些比較基礎的模板類的題
主要複習了一下：
計數 $dp$，數位 $dp$，單調隊列，斜率優化，狀壓
區間 $dp$，數據結構優化，樹形 $dp$
對四邊形不等式的套路有了一些理解
然後有幾道巧妙的加狀態的題
見識了一些揹包回退
深化了狀壓質因數的套路
在狀態定義上的功夫還差得遠…