【省選模擬】20/03/04

$calculus$

• 顯然可以發現，出題人用了很多奇怪的方法包括增長題面，使題面晦澀難懂，定義新的位運算，輸入一堆奇怪的式子來增加題面難度

• 題意，你有 $k\le 4$ 個變元 $x_1\dots xk$，分別可以取真或假，有兩種運算 $\sim,\otimes$，表示取反和 $a\otimes b=(\sim a)|b$，輸入一個含變元和 $Q$ 的表達式，其中 $Q$ 爲一串變元通過上述兩種符號串成的表達式，並且 $Q$ 中包涵 $n$ 個符號，我們需要確定有多少個 $Q$ 滿足無論 $x$ 怎麼去結果都爲真
  $n\le 70,k\le 4,q\le 500,len\le 4000$

• 暴力：枚舉 $Q$ 及 $2^k$ 種變元

• 優化，將 $2^k$ 種變元排成一列狀壓每一種變元是真是假，枚舉當前符號是 $\sim$ 還是 $\otimes$ 轉移，即：
  $f[i][j]=f[i-1][\sim j]+\sum_{k=0}^{i-1}\sum_{a\otimes b=j}f[k][a]*f[i-1-k][b]$
  後面用 $fwt$ 轉移，只需要做 $n$ 次 $fwt$， 剩餘點乘，複雜度 $O(n^2*2^{2^k}+2^k*2^{2^k})$
  現在有了初始表達式的限制，我們枚舉每一種變元看 $Q$ 是必須爲 $0/1$ 還是均可均不可
  這個可以直接用棧搞一個括號匹配模擬，複雜度 $O(m*len*2^k)$
  $Code$

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$Concise$：

• $f(i)=\sum_{j=1}^i(s(i)-s(j-1))^k=\sum_{l=0}^k\binom{k}{l}s(i)^l\sum_{j=0}^{i-1}s(j)^{k-l}$
  維護後面的前綴和，複雜度 $O(nk)$
  $Code$

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$Fancy:$

• 題意：3 棵樹，求出以下 3 者的 $min,max$
• 第一棵樹的兩兩距離和
• 第一棵樹和第二棵樹連一條邊後兩兩距離和
• 第一棵和第二棵樹連一條邊，第二課樹和第三棵連一條邊後兩兩距離和

題解：

• 第一個是定值，假設三棵樹的大小分別是 $n_1,n_2,n_3$，第二個選到點分別是 $u,v$，所有點到 $u,v$ 的距離和是 $S_u,S_v$，那麼新增貢獻是 $S_u*n_2+S_v*n_1+n_1*n_2$，分別取 $v,u$ 的最大最小
• 第三個，討論 $(1,2),(1,3),(2,3)$ 的新增貢獻，把常數項拋開
  $S_a*n_2+S_1*n_1+S_2*n_3+S_c*n_2+S_1*n_3+S_c*n_1+dis(1,2)*n_1*n_3$
  $S_a,S_c$ 分別取最大最小，那麼還剩 $n_1S_1+n_3S_2+dis(1,2)n_1n_3$，最小化就是 $S_1,S_2$ 均取最小，最大化可以用點分治 樹形$dp$，枚舉 $1$，維護 $n_3S_2+dis*n_1n_3$ 的最大值即可
  $Code$