【省選模擬】20/05/31

Sol

$A$

• 考慮每個位置有個被最早染黑的時間，求的就是這些時間的第 $k$ 大
  $minmax$ 容斥一下，就是求
  $\sum_{T\neq \empty}\binom{|T|-1}{k-1}(-1)^{|T|-k}\frac{\binom{n+1}{2}}{\binom{n+1}{2}-coef(T)}$
  其中 $coef$ 是不包含集合 $T$ 的區間個數，考慮 $dp_{i,j,k}$ 表示當前選到 $i$，$|T|=j$，$coef(T)=k$ 的方案數，狀態很少 $O(n^5)$ 可以通過

• 考慮一個複雜度更好看但肯定跑不過 $n^5$ 的做法，我們先把轉移寫出來
  $dp_{i,j,k}=\sum_{l<i}dp_{l,j-1,k-\binom{i-l}{2}}$
  考慮寫成這樣的形式
  $F_{i,j}=\sum_{l<i}F_{l,j-1}*x^{\binom{i-l}{2}}$
  代入 $\binom{n+1}{2}+1$ 個點值就可以插出原多項式，注意到我們強制在最後放一個 $n+1$，那麼只需要對 $F_{n+1,1...n+1}$ 共 $n+1$ 個多項式進行 $idft$，複雜度 $O(n^3\log n)$
  回到上面的轉移，發現是個卷積的形式，即
  $F_{i,j}=\sum_{l=0}^iF_{l,j-1}coef_{i-l}$
  由於代的是點值，所以 $coef$ 可以預先算出來
  我們將 $coef,F_{j=0}$ $dft$，點乘轉移，複雜度 $O(n^2)$
  考慮最後只需要知道 $x^{n+1}$ 的係數，所以我們只需要對 $F_{n+1,j=1...n+1}$ 暴力 $O(n)$ $idft$ 回去
  所以可以在 $O(n^4)$ 的時間解決這個問題

$B$

• 考慮如何暴力 $DP$，我的做法是記錄 $dp_{u,v}$ 表示 $u$ 的子樹，從 $v$ 接上來一條還沒有匹配的鏈（$v=0$ 表示 $u$向上的邊斷掉）
  發現當 $v\neq 0$ 時，會將每個子樹的 $dp$ 值乘上 $\prod_{t\neq v}dp_{t,0}$ 然後合併上去（用線段樹合併簡單維護）
  當 $v=0$ 時，先考慮子樹中一個點和 $u$ 拼接，可以在線段樹中查詢 $\ge$ 某個值的 $dp$ 和還有一個 $\prod_{t\neq v}dp_{t,0}$ 的係數，考慮兩個子樹的拼接，假設 $dp_{v,0}=0$ 的 $v$ 有 $k$ 個

• 當 $k>2$ 時不存在這種情況
  當 $k=2$ 時，兩個都必須選才會有值，必定存在一個輕兒子，我們 $dfs$ 那個輕兒子
  當 $k=1$ 時，它必須選，若它是重兒子，我們 $dfs$ 所有輕兒子，否則我們 $dfs$ 除它以外的輕兒子，然後 $dfs$ 它自己與重兒子拼接
  當 $k=0$ 時， $dfs$ 所有輕兒子並考慮與前面的拼接，$dfs$ 完後將它的線段樹合併上去

$C$

• 以下 $n$ 是原問題的 $n-1$，卡特蘭數用 $cat_i$ 表示，我們對 $2n$ 個置換統計不動點個數
• 容易發現，當 $n$ 爲偶數時，置換個數必須爲偶數
  當 $n$ 爲奇數時，對角線可能匹配，此時的不動點個數是 $n*cat_{\frac{n-1}{2}}$
  設環的個數爲 $2d$，環的大小爲 $e$，考慮求出 $f_d$ 表示有 $2d$ 個環的方案數
  我們枚舉與 1 號相連的點 $2i$，它們中間的連邊方式爲 $cat_{i-1}$，並且可以確定 $i$ 個環的連邊方式，於是有
  $f_d=2\sum_{i=1}^df_{d-i}cat_{i-1},f_0=1\\ f(x)=2f(x)cat(x)+1$
  由 $cat(x)=cat(x)^2+1=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ 可以得到 $f(x)=(1-4x)^{-\frac{1}{2}}$
  將其泰勒展開可以知道 $[x^i]f=\binom{2*i}{i}$，所以可以 $O(\sigma_0(n))$ 計算答案