【省選模擬】20/06/09

$A$

• 考慮求出循環節後就可以取模了
  直接 $bsgs$ $O(T\sqrt p)$ 可以得到 $60pts$
  數列類似斐波那契，循環節可以直接求，證明
  複雜度 $O(Tk\sqrt p)$ 甚至可以 $O(Tkp^{1/4})$，$Code$

$B$

• 考慮一個組合意義，即確定排列和劃分過後，每一段選擇一對，若所有對都構成逆序對則產生 1 的貢獻，對每個都爲逆序對的概率進行計數，奇數位和奇數位的貢獻可以簡單計算，問題就是如何考慮偶數位和奇數位的貢獻
  按大小關係可以建邊，小的連向大的，那麼偶數位可以串成一條鏈
  奇數位的貢獻可以看成鏈上掛了若干個連入和連出的邊，連出的邊是沒法搞的，按照氪金手遊容斥
  考慮這顆內向樹它合法的概率，欽定根爲子樹最大值，我們要做的就是對所有內向樹合法的概率求和
  考慮這個概率是 $\prod \frac{1}{size_i}$，而每次連出去一個奇數點相當將一個 $\frac{1}{size}$ 改成 1,
  令 $dp_{i,j,k}$ 表示到 $i$ 分了 $j$ 段，子樹大小爲 $k$ 的概率之和（這對應着連出去的邊有 $k$ 條），這裏 $\frac{1}{(k+i)!}$ 的概率最後算上，那麼容易發現
  $dp_{i,j,k}=\sum dp_{l,j-1,k}\frac{1}{2}\binom{i-l}{2}+\sum dp_{l,j-1,k-1}(\sum_{t=1}^{i-l}(k+i+t)(t-i+l))\\+\{\sum dp_{l,j-1,k}\binom{i-l+1}{2}-\sum dp_{l,j-1,k-1}(\sum_{t=1}^{i-l} (k+i+t)t)\}$
  $O(n^4)$，注意這裏算的是所有排列中滿足內向樹合法的概率，而偶數位本身是排好序的，所以上述貢獻要乘上 $n!$，$Code$

$C$

• 迴文自動機統計每個串的最長迴文後綴的所有沒有出現過的前綴，出現過的前綴存在一個最大長度 $len$，對應後綴數組上的一段區間，對這個長度二分即可，$Code$