【互測】20/05/27

瑠璃色の物語 - By 大神可可

• 考慮 $S$ 爲可重集合，令 $c(S)=\sum_{i\in S}c_i,v(S)=\sum_{i\in S}v_i$，考慮最後的答案是什麼
  $k![(xy)^k]\prod e^{v(S)x^{c(S)}y}*e^y\\ =k![(xy)^k]e^{\sum_{S}v(S)x^{c(S)}y+y}\\ [x^k](\sum_Sv(S)x^{c(S)}+1)^k$
  首先考慮求這麼一個東西
  $coef_k=\sum_{c(S)=k}v(S)$
  這個其實是
  $\prod_i\frac{1}{1-v_ix^{c_i}}\\=\exp(\sum \ln(\frac{1}{1-v_ix^{c_i}}))\\=\exp(\sum_{i}(\sum_{j\ge 1}(\frac{1}{j}x^{c_ij}v_i^j))\\=\exp(\sum_k\sum_{j\ge 1}\frac{1}{j}x^{kj}\sum_{c_i=k}v_i^j)$
  後面用等冪和算，前面用調和級數預處理
  下面考慮求
  $\sum_k[x^k]f^k=[x^m]f^m\sum_{k}(\frac{x}{f})^{m-k}\\ [x^m]f^m\frac{1-(\frac{x}{f})^{m+1}}{1-(\frac{x}{f})}$
  容易發現 $\frac{x}{f}$ 沒有常數項，對 $[x^m]$ 沒有貢獻，$Code$

Naiive - By FSY
簽到題，大家都切掉了，Sol

送分題 - By 大神 ldx

• 考慮隨便點 $tim_i$ 個的意義就是 $[x^{tim_i}]\prod e^{a_ix}=(\sum a_i)^{tim_i}$
  對每個數統計 $gcd$ 是它的倍數的情況容斥回去即可，直接 $n\log n$ 的調和級數過不去，考慮這麼一個過程，我們需要將 $\prod p_i^{k_i}$ 不重不漏地加到 $\prod p_i^{k_i+t_i}$，$t_i\ge 0$ 上，那麼我們每個質因子做一遍，複雜度 $55*n\log n\log n$

構造題 - By 大神zxy

• 首先有限域的大小一定是 $p^k$
  考慮如何構造逆元，我們生成一個最高次數爲 1，係數在 $[0,p)$ 之間的不可約的多項式，顯然一個多項式對應着一個數，將乘法定義爲與其取模，我們暴力枚舉兩個多項式相乘將它們相乘的結果 $ban$ 掉就可以找出這個合法的多項式，$Code$