【省選模擬】20/06/17

$Problem$

• $A$：容易發現是對向左最大深度不超過 $m-2$ 的二叉樹進行計數
  寫出 $dp$ 式子是
  $dp_{i,j}=\sum_{k=1}^{i-1}dp_{k,j-1}dp_{i-k,j}$
  寫成生成函數即爲
  $F_j(x)=F_j(x)F_{j-1}(x)+x\\ F_j(x)=\frac{x}{1-F_{j-1}(x)}$
  $F(x)$ 可以寫成 $\frac{A(x)}{B(x)}$ 的形式且上下次數不超過 $n$，於是可以代點值 $O(n\log n)$
  可以得到 $O(n^2)$ 的分數
  考慮一棵二叉樹對應唯一一條格路，對樹中序遍歷，走左兒子就向右，走右兒子就向上
  對不經過 $y=x+1,y=x-m+1$ 的格路計數
  考慮最終的路徑若經過第一條就寫下一個 $a$，若經過第二條就寫下一個 $b$，最後的序列形如 $ababab$，顯然有 $(-1)^{cnt}$ 的係數，枚舉經過幾次可以簡單計算方案數，$Code$

• $B$：直接最短路 $O(n^32^k)$ 可以得到 $52$ 分的好成績
  考慮若存在一條路徑不經過結界可以到達，那麼我們去拿水晶當且僅當走結界可以更近
  枚舉這個水晶以及最後走的結界，將這些點作爲關鍵點，考慮求出關鍵點間的最短路
  處理出 $f_{i,j,S}$ 表示關鍵點 $i$ 到 $j$ 集合爲 $S$ 的方案數，發現可以跑 $floyed$，用集合 $S$ 中的來增廣，複雜度 $O(k^32^k)$，需要預處理兩點間不經過任何一個結界的最短路 $O(n^3)$，然後 $O(n^2k^2)$ 預處理答案，$Code$

• $C$：考慮如何判斷合法性，選擇兩個一樣的消掉，記串 $S$ 消了過後成爲 $f(S)$
  分治，枚舉左邊的一個 $a$ 和右邊的一個 $b$ 交換，考慮計算 $f(f(1...i)+b+f(i+1...mid))$
  用 $hash$ 求消掉的最長串可以做的 $O(\log n)$ 拼接，最後考慮拼接左右的 $f(f(1...mid)+f(mid+1...n))$，$Code$