【省選模擬】20/04/03

$Set$

• $ans=\sum_{i=1}^{u}T^i\binom{n-i}{t}$，其中 $u=n-k+1,t=k-1$，然後推式子
  $S=\sum_{i=1}^{u}T^i\binom{n-i}{t}\\ ST=\sum_{i=2}^{u+1}T^i\binom{n-i+1}{t}\\ (T-1)S=T^{n-k+2}\binom{k-1}{t}-T\binom{n-1}{t}+(\sum_{i=1}^uT^{i}\binom{n-i}{t-1}-T\binom {n-1}{t-1})$
  遞歸即可，預處理 $n-1$ 的組合數 code

$Math$

• 轉換一下題意發現求 $\prod_{i=1}^n (1+ix)$ 模 $p$ 意義下爲 0 的下標個數
  令 $a=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor,b=n-ap$，那麼即求 $(\prod_{i=1}^{p-1}1+ix)^a(\prod_{i=1}^b 1+ix)$
  注意到前面一坨有 $p-1$ 個根，是 $[1,p-1]$，我們知道 $x^{p-1}-1\equiv 0$ 也有 $p-1$ 個同樣的根，並且次數相同，所以用 $x^{p-1}-1$ 替換原式
  那麼 $(x^{p-1}-1)^a=\sum (-1)^i\binom{a}{i}x^{(p-1)(a-i)}$，考慮有多少個非零項，對於 $\binom{a}{i}\neq 0$ 有會有一項，由 $lucas$ 定理，$a$ 的每一位大於 $i$，方案數即 $\prod (a_i+1)$
  若 $b=p-1$，那麼我們用上述方法算 $(x^{p-1}-1)^{a+1}$
  否則係數不重疊，分治 $fft$ 算出 $b$ 的非零項即可 code

$Divide$

• 構造，我們將每個點拆成多個點滿足每個點的度數 $\le k$，然後強制這 $k$ 條邊顏色不同，這樣每個點的不和諧度只會爲 1，下面我們證明對於一個最大度數爲 $k$ 的二分圖，用 $k$ 種顏色染邊可以使一個點的所有出邊顏色不同

• 對於 $k=0$ 成立
  假設對於 $k-1$ 成立，我們希望對新圖中度數爲 $k$ 的點找到一個完美匹配，然後將完美匹配的邊設成一種顏色，刪去這些邊就可以轉換爲子問題
  我們可以加一些虛點，將度數不足 $k$ 的點補足 $k$，首先證明有完美匹配，
  若沒有，由 $hall$ 定理， 存在 $S$ 滿足 $|N(S)|<|S|$，而在 $|S|$ 和 $|N(S)|$ 之間有 $|S|*D$ 條邊，而 $N(S)$ 最多連出去 $|N(S)|*D$ 條邊，所以不符
  由於度數爲 $k$ 的一定不會匹配虛點，我們將虛點即虛點的邊刪掉，將完美匹配的邊去掉即得證

• 基於此，我們可以增量構造每條邊的顏色，令 $c_0$ 爲 $x$ 可以填的最小顏色，$c_1$ 爲 $y$ 可以填的最小顏色， 若 $c_0=c_1$ 則染色，否則假設 $c_0<c_1$，我們讓這條邊爲 $c_0$，讓 $y$ 原本 $c_0$ 的邊爲 $c_1$…，容易發現這個過程是沒有環的，所以就構造完了，複雜度 $O((n+\frac{m}{k})m)$ code