二分匹配_最佳匹配KM算法

二分圖最佳匹配有匹配後總權值最大和最小兩種，求最佳匹配的一個有效算法是KM算法。KM算法很複雜很費解。現在只能總結步驟。

KM算法步驟（ 以下有層次關係，㈠ > 1 > (1) > ① > Ⅰ）

(一)  建圖：所有點分爲兩部分，一部分屬於L端，一部分屬於R端，兩端的點各有n個，現在要爲L端的所有點在R端的點中找它們的匹配，使最後總權值最大或最小，設有一條邊聯通L的i點與R的j點，權值爲w[i][j]，設二維數組gragh_m保存圖,graph_m[i][j]= w[i][j]。

(二)  爲每個點設一個頂標，L端的爲pl，R端的爲pr，將pr的全賦爲0，pl全賦爲與這個點聯通的權值最大的邊的權值，例如與L端第i個聯通的最大權值的邊的權值爲m，則pl[i]=m。

(三)  用一個循環枚舉L中的每個點，爲每個點在R中找其最佳匹配

1.設一輔助數組slack（可在全局定義）大小爲n,將slack全賦爲MAX_INT（無窮大）。

2、用一個死循環爲L中的每個點找匹配，直到找到這個匹配時候break掉此循環，

⑴定義兩個數組vl,vr，全賦爲0，分別表示L中的某個點沒有被訪問過和R中的某個點沒有被需要過（需要表示R中的某個點滿足L中的某個點的最佳匹配要求，但被需要不表示最後能肯定配到它）

⑵以當前的爲其找匹配的點作爲實參調用匹配函數match，這裏假定這個點位置爲pos

   match 函數體如下:

①     將vl[pos]賦爲1（訪問過…）

②     用個循環枚舉R中的每個點，設當前點爲j,如果這個點還沒有被需要過（vr[j]==0）則執行：定義變量val=pl[pos]+pr[j]-graph_m[pos][j];

如果val==0(滿足匹配條件)

{

   Ⅰ.vr[j]=1;

Ⅱ.如果pre[j]==-1或者match（pre[j]）==1(pre[j]表示L中與R中j點的匹配點)，則pre[j]=pos，返回真。

}

否則如果（val>0）

{

如果val<slack[j],則slack[j]=val;

}

                 ③返回假。

         ⑶．如果match返回真，break當前循環。

         ⑷定義變量d=MAX_INT,枚舉R中每個點，如果vr[j]==0（沒被訪問過）並且slack[j]<val，則d賦值爲slack[kj]。

               ⑸枚舉L中每個點和R中每個點，假設當前點爲j,如果vl[j]=1,則pl-=d；如果vr[j]==1,則pr[j]+=d;

3.將匹配後每個匹配對的權值加起來。

 

      KM算法C++模板，模板的註釋爲上面所描述的步驟

bool match(int pos) { int j,val; vl[pos]=1; // (三)->2->(2)->① for(j=0;j<scale;j++) //(三)->2->(2)->② { if(vr[j]==0) { val=pl[pos]+pr[j]-graph_w[pos][j];//(三)->2->(2)->② if(val==0) { vr[j]=1;//(三)->2->(2)->②->Ⅰ if(pre[j]==-1||match(pre[j]))//(三)->2->(2)->②->Ⅱ { pre[j]=pos; return true; } } if(val>0&&val<slack[j])//(三)->2->(2)->② slack[j]=val; } } return false;//(三)->2->(2)->③ } int km() { int i,j,res=0,d; memset(pr,0,sizeof(pr)); ///// (二) fill(pl,pl+105,INT_MAX); ///// (二) memset(pre,-1,sizeof(pre)); for(i=0;i<scale;i++) ////// (三) { fill(slack,slack+105,INT_MAX); // (三)->1 while(true) { memset(vl,0,sizeof(vl)); // (三)->2->(1) memset(vr,0,sizeof(vr)); // (三)->2->(1) if(match(i)) // (三)->2->(2) 請進入match函數體 break; // (三)->2->(3) d=INT_MAX; //(三)->2->(4) for(j=0;j<scale;j++) // (三)->2->(4) if(!vr[j]&&slack[j]<d) d=slack[j]; for(j=0;j<scale;j++)//(三)->2->(5) { if(vl[j]) pl[j]-=d; if(vr[j]) pr[j]+=d; } } } for(j=0;j<scale;j++) //(三)->3 res+=graph_w[pre[j]][j]; return res; }

最佳匹配題目

POJ2195 這裏求的是最小匹配，模板的返回值要變成負的，代碼

#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; //const int INT_MAX = 0x3f3f3f3f; struct pm { int r; int c; }pm[105]; struct ph { int r; int c; }ph[105]; int slack[105],vl[105],vr[105],pl[105],pr[105]; int graph_w[105][105],scale,pre[105]; bool match(int pos) { int j,val; vl[pos]=1; // (三)->2->(2)->① for(j=0;j<scale;j++) //(三)->2->(2)->② { if(vr[j]==0) { val=pl[pos]+pr[j]-graph_w[pos][j];//(三)->2->(2)->② if(val==0) { vr[j]=1;//(三)->2->(2)->②->Ⅰ if(pre[j]==-1||match(pre[j]))//(三)->2->(2)->②->Ⅱ { pre[j]=pos; return true; } } if(val>0&&val<slack[j])//(三)->2->(2)->② slack[j]=val; } } return false;//(三)->2->(2)->③ } int km() { int i,j,res=0,d; memset(pr,0,sizeof(pr)); ///// (二) fill(pl,pl+105,INT_MAX); ///// (二) memset(pre,-1,sizeof(pre)); for(i=0;i<scale;i++) ////// (三) { fill(slack,slack+105,INT_MAX); // (三)->1 while(true) { memset(vl,0,sizeof(vl)); // (三)->2->(1) memset(vr,0,sizeof(vr)); // (三)->2->(1) if(match(i)) // (三)->2->(2) 請進入match函數體 break; // (三)->2->(3) d=INT_MAX; //(三)->2->(4) for(j=0;j<scale;j++) // (三)->2->(4) if(!vr[j]&&slack[j]<d) d=slack[j]; for(j=0;j<scale;j++)//(三)->2->(5) { if(vl[j]) pl[j]-=d; if(vr[j]) pr[j]+=d; } } } for(j=0;j<scale;j++) //(三)->3 res+=graph_w[pre[j]][j]; return -res; } int main() { int N,M,i,j,mnum,hnum; char graph[105][105]; while(cin>>N>>M&&N!=0&&M!=0) { mnum=0; hnum=0; for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<M;j++) { cin>>graph[i][j]; if(graph[i][j]=='m') { pm[mnum].r=i; pm[mnum++].c=j; } if(graph[i][j]=='H') { ph[hnum].r=i; ph[hnum++].c=j; } } scale=mnum; for(i=0;i<scale;i++) for(j=0;j<scale;j++) graph_w[i][j]=-( abs( pm[i].r-ph[j].r )+abs( pm[i].c-ph[j].c ) ); cout<<km()<<endl; } return 0; }