迷宮的數學建模
轉載自 孟慶倫
摘要：提出了迷宮問題的數學建模方法，得到了走迷宮的三步走法。這種方法可以走通任意迷宮。
關鍵詞：迷宮；端點；無效邊
一、迷宮問題的數學建模
1、數學建模
在迷宮問題中，人們關心的是找出從入口到出口的通道，並不關心通道兩側的建築物牆壁，這樣迷宮問題的實質上就轉化爲選擇從入口到出口通道的問題。通道在數學上可以用線段來描述，因此，從入口到出口的通道在數學上可以用從入口到出口的折線段描述。圖2給出了上圖中簡單迷宮的數學模型。在數學模型中，找出從入口到出口的折線段就成了解決迷宮問題的關鍵。
2、數學分析
第一步 查找端點，去除無效邊
圖中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K等結點都只有一條邊相連，是邊的端點。與端點直接相連的邊KA、KB是無效通道，進入無效通道後只能沿原路返回。爲了敘述方便，我們把與端點直接相連的邊（如圖２中KA、KB）稱爲無效邊。可見，要成功走出迷宮首先要避免進入無效邊，所以走迷宮第一步是查找端點，去除無效邊，圖3爲去除無效邊後的一次簡化模型。
第二步 查找各級新生端點，去除各級新生無效邊
圖2中L、M、N、O、P、Q、R、S、T、U、V、W等結點有三條以上的邊相連，其中有這樣一些結點——有n條邊相連，但其中有(n-1)條邊是無效邊。例如，結點Ｌ有三條邊，但其中有兩條邊LA、LB是無效邊，去除LA、LB兩條無效邊後，結點L就變成了新生的端點，爲了敘述方便，我們把這種新生的端點簡稱爲新生端點。與結點L連結的第三條邊OL也就變成了新生的無效邊，爲了敘述方便，我們把OL這種新生的無效邊簡稱爲新生無效邊。進入這種新生無效邊後也只能沿原路返回。圖2中新生端點除了Ｌ外，還有結點S。
圖2中還有這樣一些結點——有n條邊相連，但無效邊和新生無效邊的總條數爲(n-1)。例如，結點O有四條邊，其中有兩條邊OC、OD是無效邊，另一條OL是新生無效邊。去除OC、OD、OL三條無效邊後，結點Ｏ也變成了新生的端點，爲了敘述方便，我們把這種新生的端點也簡稱爲新生端點。與結點Ｏ連結的第四條邊ＱＯ也是新生的無效邊，爲了敘述方便，我們把ＱＯ這種邊也稱爲新生無效邊。進入這種新生無效邊後也只能沿原路返回。
可見，要成功走出迷宮不僅要避免進入無效邊，也要避免進入各級新生無效邊，所以成功走迷宮的第二步就是查找各級新生端點，去除上述各級新生無效邊，圖3爲去除無效邊和各級新生無效邊後的最終簡化模型。
第三步 剩餘的邊就是成功走迷宮的通道
逐步去除無效邊和各級新生無效邊後，最後就會只剩從入口到出口的有效通道，如圖3所示。沿着剩餘有效通道就可以成功走通迷宮。按這種迷宮的三步走法，任意複雜迷宮都可以快速走通。
