【普通型母函數】HDU1085[Holding Bin-Laden Captive!]題解

題目概述

有 num1 個 1 元硬幣，num2 個 2 元硬幣，num3 個 5 元硬幣，求不能組成的最小价值。

解題報告

顯然是二進制拆分做01揹包，然而數據範圍比較大，所以效率不是很好。

其實這道題可以用母函數輕鬆解決：（摘自維基和這裏）

在數學中，某個序列的母函數是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的信息。

也就是說母函數是針對某個序列的，它的外在表現形式是一種形式冪級數。比如說有這樣一個序列 a0,a1,⋯,an ，構造一個函數 f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn 。則 f(x) 是序列 a0,a1,⋯,an 的母函數。比如說最常見的 (1+x)n ，它是序列 (n0),(n1),(n2)⋯(nn) 的母函數。

由此可見母函數各項係數就是各項的出現次數。對於一種面值爲 c 的硬幣，我們可以將 kc 作爲冪（ k 表示選幾次），則母函數爲：

f(x)=(1+x+x2+⋯+xnum1)(1+x2+x4+⋯+x2num2)(1+x5+x10+⋯+x5num5)

只需要多項式乘法求出母函數各項係數，然後找到第一個係數爲 0 的項就是答案。

示例程序

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=8000,val[3]={1,2,5};

int num[3],MAX,a[maxn+5],b[maxn+5];

int main(){
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    while (~scanf("%d%d%d",&num[0],&num[1],&num[2])){
        if (!num[0]&&!num[1]&&!num[2]) break;
        num[1]*=val[1];num[2]*=val[2];MAX=num[0]+num[1]+num[2];
        for (int i=0;i<=MAX;i++) a[i]=i<=num[0],b[i]=0;
        for (int t=1;t<3;t++){
            for (int i=0;i<=MAX;i++)
                for (int j=0;i+j<=MAX&&j<=num[t];j+=val[t])
                    b[i+j]+=a[i];
            for (int i=0;i<=MAX;i++) a[i]=b[i],b[i]=0;
        }
        int ans=0;while (a[ans]&&ans<=MAX) ans++;printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}