【NOIp複習】歐拉函數

基礎

• 歐拉函數phi(x)是指從1…x與x互質的自然數的個數
• 性質1：如果p是質數，phi(p)=p-1,phi(p^k)=p^k-p^(k-1)
• 性質2：如果p,k互質，phi(p*k)=phi(p)*phi(k)

然後就得到了百度百科的那個通式：
phi(x)=x*(1-1/p1)…(1-1/pn);

所以任何一個數，只需要分解質因數，把每個p^k都乘起來就是這個數的歐拉函數值了。在C++中這樣表達：

int phi(int n){
    int m=(int)sqrt(n+0.5);//篩質數的上界 
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=m;i++) if(n&i==0){//找到n的質因數i 
        ans=ans/i*(i-1);
        while(n%i==0) n/=i;//一直把n除到沒有因數i爲止 
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);//phi(1)=1,so... 
    return ans;
}

篩法：

int phi_table(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]=0;
    phi[1]=1;//特別定義
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!phi[i]){
            for(int j=1;j<=n;j+=i){
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        } 
}

奇技淫巧的應用

• 不大於x的與x互質的數和爲phi(x)*x/2

例題整理

1. 法雷級數由一系列不能約分的分數按遞增的順序排列組成，現在讓你求出第n項法雷級數包含多少個分數。
2. 讓找出從（0,0）點出發到（n，n）點之間只經過兩點的直線的數目。
3. 對於給定的整數L，找出L能整除最短的全8序列的長度，做爲Bob的幸運數字。
4. 記P_i表示正整數i的質因數集合.
   已知正整數n，求滿足下列條件的有序正整數對(a,b)的數目：
   (1)1<=a<=b<=n;
   (2)t爲a,b的最大公約數,P_t是P_n的子集.
5. POJ 3696（文章裏面說的“歐拉公式”實際上指歐拉定理：a^phi(m)≡1(mod m)，所以同餘方程a^x≡1(mod m)的解一定是phi(m)的因數）
6. [HDU 2588] 計算1~n中有多少個數和n的最大公因數比m大（將n分解爲a*b，如果gcd(n,x)=a那麼x=a*d，其中d是一個比b小的與b互質的數。所以確定了a過後phi(b)就是x的個數了，從m開始（或者從sqrt(n)開始，看哪個更小）枚舉）

好難啊！完全不會！