【BJOI】【歐拉函數】Euler

題目大意

給你一個數y要求輸出一個滿足φ(x)=y的最小的x,有T組詢問。

y<=1012
1<=T<=2

解題思路

求φ(x)時有一個衆所周知的公式是φ(x)=x∗Πpi−1pi（pi爲x的所有質因子）,也就是說這我們可以得到等式
φ(x)=y
x∗Πpi−1pi=y （等式一）
x=y∗Πpipi−1 （等式二）
由等式一可知，因爲pi都是x的質因子，所以我們可以把下面的pi都與x約掉，然後我們就發現x的質因子要不就是y的質因子，要不就是y的約數加一。而由等式二可知我們只需要找出Πpipi−1最小的符合要求的解就行了。不難發現符合要求的x可能的質因子只有1000多個，那麼我們只需暴力判斷每個質數選不選再加個全局最優解的優化就可以了。

程序

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 7e3;
typedef long long LL;

LL N, Ans, Fac[MAXN], Pri[MAXN];
int tot, cnt;

void Prepare(LL N) {
    for (LL i = 1; i * i < N; i ++) {
        if (N % i != 0) continue;
        Fac[++ tot] = i;
        if (1ll * i * i == N) continue;
        Fac[++ tot] = N / i;
    }
}

bool IsPrime(LL Now) {
    for (LL i = 2; i * i <= Now; i ++) 
        if (Now % i == 0) return 0;
    return 1;
}

void GetPri() {
    for (int i = 1; i <= tot; i ++) 
        if (IsPrime(Fac[i] + 1)) Pri[++ cnt] = Fac[i] + 1;
}

bool cmp(LL a, LL b) { return a > b;}

bool Check(LL Num, LL Now) {
    if (Now == 1) return 1;
    if (Now % Pri[Num] == 0) return Check(Num, Now / Pri[Num]);
    return 0;
}

void Dfs(int Num, LL Now, LL S) {
    if (Num > cnt || S > Ans || Now == 1) return;
    if (Now % (Pri[Num] - 1) != 0) {
        Dfs(Num + 1, Now, S);
        return;
    }
    if (Now % (Pri[Num] - 1) == 0 && Check(Num, Now / (Pri[Num] - 1))) 
        Ans = min(Ans, S / (Pri[Num] - 1) * Pri[Num]);
    LL Ord = (Pri[Num] - 1);
    for (; Now % Ord == 0; Ord *= Pri[Num]) 
        Dfs(Num + 1, Now / Ord, S / (Pri[Num] - 1) * Pri[Num]);
    Dfs(Num + 1, Now, S);
}

void Solve(LL N) {
    Ans = (N == 1) ? N : N * 10;
    tot = cnt = 0;
    Prepare(N);
    GetPri();
    sort(Pri + 1, Pri + 1 + cnt, cmp);
    Dfs(1, N, N);
}

int main () {
    int Test;
    scanf("%d", &Test);
    for (; Test; Test --) {
        scanf("%lld", &N);
        Solve(N);
        printf("%lld\n", Ans);
    }
}