雅克比矩陣&行列式——單純的矩陣和算子

最近接觸了一點雅克比的東西，以前學習雅克比矩陣和雅克比行列式是在高數上，就知道個二重積分的時候可以用一下，其他的真沒遇到過。最近在學習隨機過程，在涉及到隨機變量轉化求解概率密度函數時，猛然冒出雅克比行列式讓我刮目相看，於是再次學習這些東西。

 

   首先介紹定義，雅克比矩陣是一階偏導數以一定的方式排列成的矩陣，當其實方陣時，行列式稱爲雅克比行列式。設有m個n元函數組成的函數組：，稱之爲函數組。我們對這個函數組取一階導數，獲得下面的雅克比矩陣：

如果m=n，那麼J就是一個方陣，於是我們就得到對應的雅克比行列式：

首先討論雅克比矩陣，凡是矩陣都可以看做是一個線性空間之間的轉換工具，這裏也不例外，我們將雅克比矩陣看做是將點轉化到點，或者說是從一個n維的歐式空間轉換到m維的歐氏空間。這裏需要強調的是不要和hessian 陣混合，後者也是梯度矩陣，針對的是多元函數的二階偏導數構成的方塊陣。

下面介紹雅克比矩陣和雅克比行列式的數學和物理意義。

Eg1.雅克比矩陣可以用來體現一個可微方程與給定的某個點的最佳線性逼近，也可以理解爲某點的一階展開，因爲雅克比矩陣類似多元函數的導數，只是這裏的函數是函數組。雅克比矩陣的第i行的轉置就是函數yi的梯度。例如在某點p處可微，那麼我們將有。

Eg2.座標變換

   球座標與直角座標的變換公式如下：

    實現了將球空間轉化爲笛卡爾空間。我們得到的雅克比矩陣是

      

    更加具體的參考blog：

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_4062094e0100c2p1.html

    這個需要強調的是在這個例子中雅克比矩陣更加準確的體現的是其微分形式，反應了原始空間微小變化引發的值域空間的變化的敏感度。

Eg3. 雅克比行列式的性質。雅克比行列式可以看做是空間的座標變換時對應的面積（或者體積）元素的伸縮係數

     在應用到多重積分的變量替換是最常用到的。例如對於二重積分：

    ---------1，

     我們進行變量替換 -------2，於是將公式2代入到1中我們得到：

，在這裏。我們做這麼麻煩的轉化只是爲了將來的運算方便，一種情況是在x，y不好運算，比如我們用極座標運算來代替直角座標運算。第二種是，x，y的運算未知，而我們已   經知道了u，v的運算以及兩者之間轉換關係。

    總之，雅克比行列式表示不同座標下的轉換尺度。

轉自http://blog.csdn.net/carrierlxksuper/article/details/12453307