【bzoj 3434】 WC2014 時空穿梭 - 亂搞數學題

　　WC也會有這種不怎麼難的數學題嗎。。（？）
　　先考慮二維的情況。
　　枚舉初始點，然後枚舉初始點到最後一個點的兩座標的距離，就可以知道答案是
　　

∑x=1m1∑y=1m2∑i=1m1−x∑j=1m2−y(gcd(x,y)−1c−2)

　　稍微化簡一下並用∑d[d=gcd(x,y)] 和∑p∣dμ(p)=[d=1] 代入可得
　　

∑d(d−1c−2)∑p∑i=1⌊m1−1dp⌋∑j=1⌊m2−1dp⌋(m1−dpi)(m2−dpj)

　　如果我們設Pi(x)=(2mi−x−x⌊mi−1x⌋)⌊mi−1x⌋/2 並稍微再調換一下上式的求和順序，可得
　　

∑p(∏i=1nPi(p))∑d∣p(d−1c−2)μ(pd)

　　同理，放到n 維下的答案就是這個玩意。
　　設gp,c=∑d∣p(d−1c−2)μ(pd) ，那麼g 可以暴力一波直接分解因數算，複雜度可以做到O(mm−−√/logm+mc) 甚至O(mm−−√4+mc) ，當然這個題只用預處理一次，所以直接O(mm−−√) 就夠了。。。
　　但是這樣還不夠，我們會發現前面那個多項式乘積裏面帶整除符號的係數有點難搞，於是暴力把多項式乘出來，得到F(x)=∑ni=1Pi(x) 的F(x) 的各項係數， 於是對於每段相同的⌊m−1x⌋ 多項式都有相同的係數，然後就可以區間和算出來了，所以我們不搞gp,c 了，而是預處理gp,c,k=∑d∣p(d−1c−2)μ(pd)pk ，這樣就可以愉快地分塊算了。
　　每個mi 會貢獻O(m−−√) 段，因此總共有O(nm−−√) 段。而每次計算多項式係數的時候因爲都是一次多項式相乘，所以直接O(n2) 暴力即可。於是總複雜度爲O(mm−−√+mcm−−√/logm+mcn+Tn3m−−√) 。。。。其中O(mm−−√/logm) 是不大於m 的所有數的因數總數貢獻的。。。
　　
　　吐槽一句。。。 辣雞 bzoj上的數據範圍沒標全。。於是我一直在想能不能把n3 壓成n2 。。。然後瞎搞了個每次更新系數的時候把多項式除一下。。。後來發現數據裏會有零多項式。。。然後就狗帶了。。。不過這樣能有70pts，出題人也是良心。。。不過如果是考場上的話看到這個數據範圍我早就上n3 了23333

【醜的一比的代碼】

/*
    I will chase the meteor for you, a thousand times over.
    Please wait for me, until I fade forever.
    Just 'coz GEOTCBRL.
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fore(i,u)  for (int i = head[u] ; i ; i = nxt[i])
#define rep(i,a,b) for (int i = a , _ = b ; i <= _ ; i ++)
#define per(i,a,b) for (int i = a , _ = b ; i >= _ ; i --)
#define For(i,a,b) for (int i = a , _ = b ; i <  _ ; i ++)
#define Dwn(i,a,b) for (int i = ((int) a) - 1 , _ = (b) ; i >= _ ; i --)
#define fors(s0,s) for (int s0 = (s) , _S = s ; s0 ; s0 = (s0 - 1) & _S)
#define foreach(it,s) for (__typeof(s.begin()) it = s.begin(); it != s.end(); it ++)

#define mp make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int , int>
#define fir first
#define sec second
#define MS(x,a) memset(x , (a) , sizeof (x))

#define gprintf(...) fprintf(stderr , __VA_ARGS__)
#define gout(x) std::cerr << #x << "=" << x << std::endl
#define gout1(a,i) std::cerr << #a << '[' << i << "]=" << a[i] << std::endl
#define gout2(a,i,j) std::cerr << #a << '[' << i << "][" << j << "]=" << a[i][j] << std::endl
#define garr(a,l,r,tp) rep (__it , l , r) gprintf(tp"%c" , a[__it] , " \n"[__it == _])

template <class T> inline void upmax(T&a , T b) { if (a < b) a = b ; }
template <class T> inline void upmin(T&a , T b) { if (a > b) a = b ; }

typedef long long ll;

const int N = 100000;
const int maxn = 100007;
const int maxm = 200007;
const int mod = 10007;
const int inf = 0x7fffffff;
const double eps = 1e-7;

typedef int arr[maxn];
typedef int adj[maxm];

inline int fcmp(double a , double b) {
    if (fabs(a - b) <= eps) return 0;
    if (a < b - eps) return -1;
    return 1;
}

inline int add(int a , int b) { return (a + b) % mod ; }
inline int mul(int a , int b) { return (a * b) % mod ; }
inline int dec(int a , int b) { return add(a , mod - b) ; }
inline int Pow(int a , int b) {
    int t = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) t = mul(t , a);
        a = mul(a , a) , b >>= 1;
    }
    return t;
}

#define gc getchar
#define idg isdigit
#define rd RD<int>
#define rdll RD<long long>
template <typename Type>
inline Type RD() {
    char c = getchar(); Type x = 0 , flag = 1;
    while (!idg(c) && c != '-') c = getchar();
    if (c == '-') flag = -1; else x = c - '0';
    while (idg(c = gc()))x = x * 10 + c - '0';
    return x * flag;
}
inline char rdch() {
    char c = gc();
    while (!isalpha(c)) c = gc();
    return c;
}
#undef idg
#undef gc

// beginning

arr miu , pr , vis;
int g[maxn][19] , C[maxn][19] , tot;
int s[20][12][maxn] , F[20];

inline void get(int p , int d) {
    if (!miu[p / d]) return;
    int flag = miu[p / d] > 0;
    rep (c , 0 , 18) 
        if (flag)
            g[p][c] = add(g[p][c] , C[d - 1][c]);
        else
            g[p][c] = dec(g[p][c] , C[d - 1][c]);
}

inline void init() {
    rep (i , 0 , N) {
        C[i][0] = 1;
        rep (j , 1 , min(i , 18)) C[i][j] = add(C[i - 1][j - 1] , C[i - 1][j]);
    }
    miu[1] = 1;
    g[1][0] = 1;
    rep (i , 0 , 11) s[0][i][1] = 1;
    rep (i , 2 , N) {
        if (!vis[i])
            pr[++ tot] = i , miu[i] = -1;
        rep (j , 1 , tot) if (i * pr[j] > N) break; else {
            vis[i * pr[j]] = 1;
            if (i % pr[j] == 0) break;
            miu[i * pr[j]] = -miu[i];
        }
        for (int j = 1; j * j <= i; j ++) if (i % j == 0) {
            get(i , j);
            if (j * j != i) get(i , i / j);
        }
        rep (c , 0 , 18) {
            int pw = 1;
            rep (j , 0 , 11)
                s[c][j][i] = add(s[c][j][i - 1] , mul(g[i][c] , pw)) , pw = mul(pw , i);
        }
    }
}

int n , c , mn;
int m[13];

void input() {
    n = rd() , c = rd() , mn = maxn;
    rep (i , 1 , n) m[i] = rd() , upmin(mn , m[i]);
}

inline void Mul(int n , int f0 , int f1) {
    F[n] = 0;
    per (i , n , 1) F[i] = add(mul(F[i] , f0) , mul(F[i - 1] , f1));
    F[0] = mul(F[0] , f0);
}

void solve() {
    static int inv2 = Pow(2 , mod - 2);
    int ans = 0;

    for (int l = 1 , r = 0; r < mn - 1; l = r + 1) {
        r = inf;

        rep (i , 1 , n) upmin(r , (m[i] - 1) / ((m[i] - 1) / l));

        rep (i , 1 , n) F[i] = 0; F[0] = 1;
        rep (i , 1 , n)
            Mul(i , add(m[i] , m[i]) , mod - add((m[i] - 1) / l , 1));

        int tmp = 0;
        rep (i , 0 , n) tmp = add(tmp , mul(F[i] , dec(s[c - 2][i][r] , s[c - 2][i][l - 1])));
        rep (i , 1 , n) tmp = mul(tmp , (m[i] - 1) / l);

        ans = add(ans , tmp);
    }

    ans = mul(ans , Pow(inv2 , n));
    printf("%d\n" , ans);
}

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("data.txt" , "r" , stdin);
    #endif
    init();
    rep (T , 1 , rd()) {
        input();
        solve();
    }
    return 0;
}