劉維爾是法國數學家，1809年3月24日生於聖奧梅爾；1882年9月8日卒於巴黎。1830年畢業於法國道路與橋樑工程學院。1833年以後，先後任巴黎綜合工科學校、索邦大學和法蘭西學院、巴黎大學理學院的教授。1839年當選爲法國科學院院士。1850年被選爲英國皇家學會會員。他還是彼得堡科學院的名譽院士。
劉維爾對複變函數、橢圓函數、微分方程、積分方程、代數幾何、超越數、數論都作出了貢獻，發表了約400篇論文，其中有200多篇是數論方面的。劉維爾也證明過二次互反律。
劉維爾發展了橢圓函數論。他在1844年闡明瞭從雅可比的定理出發如何建立起雙周期函數的一套完整理論，這個理論是橢圓函數論的一個重要方面。
問題：雙週期全純函數是常數嗎？
在解析函數論中，劉維爾提出了一個重要定理：每一個有界整函數是一個常數。他還研究了判斷代數函數積分解析性的準則。
劉維爾研究了常微分方程邊值問題中求解特徵值和特徵函數的方法。在微分方程的教科書中，常用來證明解的存在性的所謂皮卡逐次逼近法，其實是由劉維爾於1838年最早提出並使用的，而在50年後由皮卡推到更一般的形式。
非初等原函數的幾種類型http://www.docin.com/p-358129286.html
關於劉維爾定理的一個註記http://www.docin.com/p-273712248.html
摘要：該文介紹了經典的劉維爾定理在調和函數上的推廣，對劉維爾定理在黎曼流形和凱勒流形上的情形作了總結，重點給出了關於調和函數的劉維爾型定理兩種分析方法證明，並給出了定理在高維歐氏空間上的推廣。
0引言
經典的劉維爾定理是關於複平面上解析函數的一個優美結果。因定理是在19世紀由法國數學家劉維爾提出而得名。定理非常簡潔：有界整函數必恆爲常數。這一定理無疑使得代數基本定理的證明變得初等而快捷。劉維爾定理的結果也反映出複變函數的解析性與實函數的可微性之間存在的巨大差異：對於整個實軸上定義的有界可微實函數，人們不可能期望其恆爲一常數，一個顯然的例子是函數f(x)=sinx。由於解析函數與調和函數有着微妙的聯繫，文中主要探討關於調和函數的劉維爾型定理，並將定理推廣到高維的歐氏空間中。事實上，早在1975年Yau就首先給出了劉維爾定理在流形上的推廣，也就是人所共知的結論：非負Ricci曲率的完備非緊緻黎曼流形上的正調和函數必爲常數。不久，Cheng-Yau又進一步推廣了上面的結論，得出了非負Ricci曲率的完備非緊緻黎曼流形上的齊線性增長的調和函數必爲常數的論斷。該文旨在說明經典的劉維爾定理與流形上劉維爾型定理的密切聯繫。
1調和函數的劉維爾型定理及證明
經典的劉維爾定理：設f(z)是整個複平面上的解析函數，如果f(z)有界，則f(z)必恆爲常數。這一定理證明的基本技巧是利用複函數的柯西積分公式或高階導數公式，由於證明十分初等，在此不再贅述。利用解析函數的柯西-黎曼方程，如果設函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)的解析性可得二元實函數u(x,y),v(x,y)都是調和函數；而函數f(z)= u(x,y)+iv(x,y)恆爲常數等價於u(x,y)和v(x,y)同時恆爲常數，又由於f(z)的有界性可以歸結爲u(x,y)和v(x,y)的有界性。一個自然的問題：由於可以通過u(x,y)和v(x,y)來研究解析函數f(z)，那麼如何從調和函數u(x,y)和v(x,y)的角度來看解析函數f(z)的劉維爾定理呢？事實上，如果猜想結論“有界調和函數恆爲常數”成立的話，那麼這一結論就使得解析函數的劉維爾定理成爲顯然，說明這是強於劉維爾定理的結果，這一結論究竟是否成立呢？答案是肯定的，甚至有更好的結果，即有如下定理：
定理1：有上界或有下界的調和函數必爲常數。
這一結論強於解析函數的劉維爾定理，所以稱之爲關於調和函數的強劉維爾定理。 下面用兩種方法給出這一定理的證明。
2調和函數的劉維爾型定理在高維歐氏空間的推廣
定理1在高維歐氏空間R^n上有自然的推廣，事實上有：
定理2：有上界或有下界的調和函數u(x_1,x_2,…,x_n)必爲常數。
利用與證明定理1完全一樣的技巧可以給出定理2的證明，在此不再贅述。定理2的結論使得流形上劉維爾型定理的提出成了水到渠成的事情，也就是丘成桐關於“非負Ricci曲率的完備非緊緻黎曼流形上的正調和函數必爲常數”的著名論述。
劉維爾與伽羅瓦數學手稿的發表http://www.docin.com/p-481036830.html
（2） 劉維爾的高尚品質——積極扶持年輕人
1830-1840年間，劉維爾通過自己在科學方面的研究，逐漸在法國科學界確立了自己的地位。在31歲時，他就達到了自己事業的高峯：科學院的成員；綜合工科學校的教授；並於1836年創辦了自己的雜誌《純粹與應用數學雜誌》等。在劉維爾成名後，作爲教授、科學院成員和主編，他對有數學天分的年輕人是相當扶持的，不僅引導和促進他們的數學才能，而且積極地將他們的數學研究進行推薦和發表。在法國，比劉維爾晚一代的數學家大部分是他的學生，如勒維利埃（Le Verrier，1811-1877），埃爾米特，伯蘭特（J.Bertrand，1822-1900），塞雷（J.A.Serret，1819-1885）等。
洛朗（Matthieu Paul Hermann Laurent，1841-1908）對此回憶道：
認識他的人都知道他的邀請是非常友善的，與他的交談是非常有趣的，而且受益很多。他喜歡鼓勵和幫助年輕人，給他們建議。在他做完報告後，喜歡帶學生去他的家裏，和他們討論問題，因此常常忘記吃午飯。
劉維爾爲什麼喜歡幫助和引導有數學天分的年輕人？這一點，他曾在晚年向米塔-列夫勒（M.G.Mittag-Leffler，1846-1927）解釋過。米塔-列夫勒在1925年斯堪的納維亞數學家大會上談到了這件事：
特別的，我要回憶一下我與劉維爾的第一次見面。他非常熱情的歡迎了我，並和我談到“我認爲我的職責就是真誠的歡迎所有有前途的年輕數學家”，“你能想象得到嗎，我曾經見過阿貝爾，但沒有識別出他的數學才能”……劉維爾總是將錯過阿貝爾這件事看作自己所碰到的最傷心的事。
（3）劉維爾與利布里（G.Libri，1803-1869）的學術論戰
1843年10月， 劉維爾將自己的研究寫成兩篇文章遞交給科學院，這兩篇論文算是他與利布里論戰的真正結束。
對埃爾米特關於阿貝爾函數論文的評論，與科布里的爭論以及隨後的兩篇論文，第一次公開的表明劉維爾已經轉到兩個新的研究領域：橢圓函數和伽羅瓦理論。
不定積分中的積不出問題http://www.docin.com/p-432385178.html
早在1833年，劉維爾就證明了橢圓積分不是初等函數。
劉維爾數論猜想的完全證明及變式研究http://www.docin.com/p-6796461.html
線性微分方程解的結構http://www.docin.com/p-346846509.html
問題：如果已知y_1(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一個解，如何求出方程的一個與y_1(x)線性無關的解y_2(x)？
該問題的解決歸功於劉維爾。
定理（劉維爾公式）：若y_1(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一個非零解，則y_2(x)=y_1(x)∫(e^(-∫p(x)dx)/y_1^2)dx是方程的與y_1(x)線性無關的解，且y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)爲原方程的通解。
n階齊次方程的解與它的係數之間具有如下關係：
定理：設y_1,,y_n是方程y^(n)+p_1(x)y^(n-1)+…+p_(n-1)(x)y'+p_r(x)y=0的任意n個解，W(x)是它們的朗斯基行列式，則對(a,b)內的任意一點x=x_0，皆有W(x)=W(x_0)exp[-∫[x_0,x]p_1(t)dt]。
上述關係就是著名的劉維爾公式。
劉維爾的發現
前面，在“連續自然數立方和公式探源”一文中，用非常簡單的方法推出了求連續自然數立方和的公式：
13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2
它的左端，是從1到n的連續自然數的立方和，右端，是從1到n的連續自然數之和的平方。簡單地說就是：連續自然數的立方和等於連續自然數之和的平方。
無獨有偶，法國數學家劉維爾，發現了自然數一個深層次的奇妙性質，與這個公式有驚人的相似之處。不過，這個發現如果用數學術語來表達，實在是太繞嘴了，還是舉例說明爲好。
比如，自然數9，它有1、3、9這3個因數。這3個因數又有各自的因數：
9的因數1，有1這“1”個因數；
9的因數3，有1、3這“2”個因數；
9的因數9，有1、3、9這“3”個因數。
給9的這些“孫子輩兒的”因數個數打上引號，是因爲下面要說的就是它們。
用這3個數“1”、“2”、“3”列兩個算式：
13＋23＋33＝1＋8＋27＝36，
(1＋2＋3)2＝36，
於是，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2。
你看，形式上跟“求連續自然數立方和的公式”一模一樣。這就是劉維爾的絕妙發現。
再比如，自然數6，它有1、2、3、6這4個因數。這4個因數又有各自的因數：
1有1這“1”個因數；
2有1、2這“2”個因數；
3有1、3這“2”個因數；
6有1、2、3、6這“4”個因數。
用這4個數“1”、“2”、“2”、“4”列兩個算式：
13＋23＋23＋43＝1＋8＋8＋64＝81，
(1＋2＋2＋4)2＝92＝81，
於是，13＋23＋23＋43＝(1＋2＋2＋4)2。
再次驗證了劉維爾的發現。
再比如，自然數24，它有1、2、3、4、6、8、12、24這8個因數。這8個因數又有各自的因數：
1有1這“1”個因數；
2有1、2這“2”個因數；
3有1、3這“2”個因數；
4有1、2、4這“3”個因數；
6有1、2、3、6這“4”個因數；
8有1、2、4、8這“4”個因數；
12有1、2、3、4、6、12這“6”個因數；
24有1、2、3、4、6、8、12、24這“8”個因數。
用這8個數“1”、“2”、“2”、“3”、“4”、“4”、“6”、“8”列兩個算式：
13＋23＋23＋33＋43＋43＋63＋83＝1＋8＋8＋27＋64＋64＋216＋512＝900，
(1＋2＋2＋3＋4＋4＋6＋8)2＝302＝900，
於是，13＋23＋23＋33＋43＋43＋63＋83＝(1＋2＋2＋3＋4＋4＋6＋8)2。
又一次驗證了劉維爾的發現。
自然數裏的奧祕實在是太多了，往往會給人帶來絕對意想不到的驚喜。劉維爾的發現觸及這個神祕世界的深處。這件事再次向人們展示：人的認識能力是無限的。關鍵要看你有沒有興趣，有沒有毅力，當然也少不了命運之神對你的眷顧。
