刘维尔是法国数学家，1809年3月24日生于圣奥梅尔；1882年9月8日卒于巴黎。1830年毕业于法国道路与桥梁工程学院。1833年以后，先后任巴黎综合工科学校、索邦大学和法兰西学院、巴黎大学理学院的教授。1839年当选为法国科学院院士。1850年被选为英国皇家学会会员。他还是彼得堡科学院的名誉院士。
刘维尔对复变函数、椭圆函数、微分方程、积分方程、代数几何、超越数、数论都作出了贡献，发表了约400篇论文，其中有200多篇是数论方面的。刘维尔也证明过二次互反律。
刘维尔发展了椭圆函数论。他在1844年阐明了从雅可比的定理出发如何建立起双周期函数的一套完整理论，这个理论是椭圆函数论的一个重要方面。
问题：双周期全纯函数是常数吗？
在解析函数论中，刘维尔提出了一个重要定理：每一个有界整函数是一个常数。他还研究了判断代数函数积分解析性的准则。
刘维尔研究了常微分方程边值问题中求解特征值和特征函数的方法。在微分方程的教科书中，常用来证明解的存在性的所谓皮卡逐次逼近法，其实是由刘维尔于1838年最早提出并使用的，而在50年后由皮卡推到更一般的形式。
非初等原函数的几种类型http://www.docin.com/p-358129286.html
关于刘维尔定理的一个注记http://www.docin.com/p-273712248.html
摘要：该文介绍了经典的刘维尔定理在调和函数上的推广，对刘维尔定理在黎曼流形和凯勒流形上的情形作了总结，重点给出了关于调和函数的刘维尔型定理两种分析方法证明，并给出了定理在高维欧氏空间上的推广。
0引言
经典的刘维尔定理是关于复平面上解析函数的一个优美结果。因定理是在19世纪由法国数学家刘维尔提出而得名。定理非常简洁：有界整函数必恒为常数。这一定理无疑使得代数基本定理的证明变得初等而快捷。刘维尔定理的结果也反映出复变函数的解析性与实函数的可微性之间存在的巨大差异：对于整个实轴上定义的有界可微实函数，人们不可能期望其恒为一常数，一个显然的例子是函数f(x)=sinx。由于解析函数与调和函数有着微妙的联系，文中主要探讨关于调和函数的刘维尔型定理，并将定理推广到高维的欧氏空间中。事实上，早在1975年Yau就首先给出了刘维尔定理在流形上的推广，也就是人所共知的结论：非负Ricci曲率的完备非紧致黎曼流形上的正调和函数必为常数。不久，Cheng-Yau又进一步推广了上面的结论，得出了非负Ricci曲率的完备非紧致黎曼流形上的齐线性增长的调和函数必为常数的论断。该文旨在说明经典的刘维尔定理与流形上刘维尔型定理的密切联系。
1调和函数的刘维尔型定理及证明
经典的刘维尔定理：设f(z)是整个复平面上的解析函数，如果f(z)有界，则f(z)必恒为常数。这一定理证明的基本技巧是利用复函数的柯西积分公式或高阶导数公式，由于证明十分初等，在此不再赘述。利用解析函数的柯西-黎曼方程，如果设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)的解析性可得二元实函数u(x,y),v(x,y)都是调和函数；而函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)恒为常数等价于u(x,y)和v(x,y)同时恒为常数，又由于f(z)的有界性可以归结为u(x,y)和v(x,y)的有界性。一个自然的问题：由于可以通过u(x,y)和v(x,y)来研究解析函数f(z)，那么如何从调和函数u(x,y)和v(x,y)的角度来看解析函数f(z)的刘维尔定理呢？事实上，如果猜想结论“有界调和函数恒为常数”成立的话，那么这一结论就使得解析函数的刘维尔定理成为显然，说明这是强于刘维尔定理的结果，这一结论究竟是否成立呢？答案是肯定的，甚至有更好的结果，即有如下定理：
定理1：有上界或有下界的调和函数必为常数。
这一结论强于解析函数的刘维尔定理，所以称之为关于调和函数的强刘维尔定理。 下面用两种方法给出这一定理的证明。
2调和函数的刘维尔型定理在高维欧氏空间的推广
定理1在高维欧氏空间R^n上有自然的推广，事实上有：
定理2：有上界或有下界的调和函数u(x_1,x_2,…,x_n)必为常数。
利用与证明定理1完全一样的技巧可以给出定理2的证明，在此不再赘述。定理2的结论使得流形上刘维尔型定理的提出成了水到渠成的事情，也就是丘成桐关于“非负Ricci曲率的完备非紧致黎曼流形上的正调和函数必为常数”的著名论述。
刘维尔与伽罗瓦数学手稿的发表http://www.docin.com/p-481036830.html
（2） 刘维尔的高尚品质——积极扶持年轻人
1830-1840年间，刘维尔通过自己在科学方面的研究，逐渐在法国科学界确立了自己的地位。在31岁时，他就达到了自己事业的高峰：科学院的成员；综合工科学校的教授；并于1836年创办了自己的杂志《纯粹与应用数学杂志》等。在刘维尔成名后，作为教授、科学院成员和主编，他对有数学天分的年轻人是相当扶持的，不仅引导和促进他们的数学才能，而且积极地将他们的数学研究进行推荐和发表。在法国，比刘维尔晚一代的数学家大部分是他的学生，如勒维利埃（Le Verrier，1811-1877），埃尔米特，伯兰特（J.Bertrand，1822-1900），塞雷（J.A.Serret，1819-1885）等。
洛朗（Matthieu Paul Hermann Laurent，1841-1908）对此回忆道：
认识他的人都知道他的邀请是非常友善的，与他的交谈是非常有趣的，而且受益很多。他喜欢鼓励和帮助年轻人，给他们建议。在他做完报告后，喜欢带学生去他的家里，和他们讨论问题，因此常常忘记吃午饭。
刘维尔为什么喜欢帮助和引导有数学天分的年轻人？这一点，他曾在晚年向米塔-列夫勒（M.G.Mittag-Leffler，1846-1927）解释过。米塔-列夫勒在1925年斯堪的纳维亚数学家大会上谈到了这件事：
特别的，我要回忆一下我与刘维尔的第一次见面。他非常热情的欢迎了我，并和我谈到“我认为我的职责就是真诚的欢迎所有有前途的年轻数学家”，“你能想象得到吗，我曾经见过阿贝尔，但没有识别出他的数学才能”……刘维尔总是将错过阿贝尔这件事看作自己所碰到的最伤心的事。
（3）刘维尔与利布里（G.Libri，1803-1869）的学术论战
1843年10月， 刘维尔将自己的研究写成两篇文章递交给科学院，这两篇论文算是他与利布里论战的真正结束。
对埃尔米特关于阿贝尔函数论文的评论，与科布里的争论以及随后的两篇论文，第一次公开的表明刘维尔已经转到两个新的研究领域：椭圆函数和伽罗瓦理论。
不定积分中的积不出问题http://www.docin.com/p-432385178.html
早在1833年，刘维尔就证明了椭圆积分不是初等函数。
刘维尔数论猜想的完全证明及变式研究http://www.docin.com/p-6796461.html
线性微分方程解的结构http://www.docin.com/p-346846509.html
问题：如果已知y_1(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一个解，如何求出方程的一个与y_1(x)线性无关的解y_2(x)？
该问题的解决归功于刘维尔。
定理（刘维尔公式）：若y_1(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一个非零解，则y_2(x)=y_1(x)∫(e^(-∫p(x)dx)/y_1^2)dx是方程的与y_1(x)线性无关的解，且y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)为原方程的通解。
n阶齐次方程的解与它的系数之间具有如下关系：
定理：设y_1,,y_n是方程y^(n)+p_1(x)y^(n-1)+…+p_(n-1)(x)y'+p_r(x)y=0的任意n个解，W(x)是它们的朗斯基行列式，则对(a,b)内的任意一点x=x_0，皆有W(x)=W(x_0)exp[-∫[x_0,x]p_1(t)dt]。
上述关系就是著名的刘维尔公式。
刘维尔的发现
前面，在“连续自然数立方和公式探源”一文中，用非常简单的方法推出了求连续自然数立方和的公式：
13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2
它的左端，是从1到n的连续自然数的立方和，右端，是从1到n的连续自然数之和的平方。简单地说就是：连续自然数的立方和等于连续自然数之和的平方。
无独有偶，法国数学家刘维尔，发现了自然数一个深层次的奇妙性质，与这个公式有惊人的相似之处。不过，这个发现如果用数学术语来表达，实在是太绕嘴了，还是举例说明为好。
比如，自然数9，它有1、3、9这3个因数。这3个因数又有各自的因数：
9的因数1，有1这“1”个因数；
9的因数3，有1、3这“2”个因数；
9的因数9，有1、3、9这“3”个因数。
给9的这些“孙子辈儿的”因数个数打上引号，是因为下面要说的就是它们。
用这3个数“1”、“2”、“3”列两个算式：
13＋23＋33＝1＋8＋27＝36，
(1＋2＋3)2＝36，
于是，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2。
你看，形式上跟“求连续自然数立方和的公式”一模一样。这就是刘维尔的绝妙发现。
再比如，自然数6，它有1、2、3、6这4个因数。这4个因数又有各自的因数：
1有1这“1”个因数；
2有1、2这“2”个因数；
3有1、3这“2”个因数；
6有1、2、3、6这“4”个因数。
用这4个数“1”、“2”、“2”、“4”列两个算式：
13＋23＋23＋43＝1＋8＋8＋64＝81，
(1＋2＋2＋4)2＝92＝81，
于是，13＋23＋23＋43＝(1＋2＋2＋4)2。
再次验证了刘维尔的发现。
再比如，自然数24，它有1、2、3、4、6、8、12、24这8个因数。这8个因数又有各自的因数：
1有1这“1”个因数；
2有1、2这“2”个因数；
3有1、3这“2”个因数；
4有1、2、4这“3”个因数；
6有1、2、3、6这“4”个因数；
8有1、2、4、8这“4”个因数；
12有1、2、3、4、6、12这“6”个因数；
24有1、2、3、4、6、8、12、24这“8”个因数。
用这8个数“1”、“2”、“2”、“3”、“4”、“4”、“6”、“8”列两个算式：
13＋23＋23＋33＋43＋43＋63＋83＝1＋8＋8＋27＋64＋64＋216＋512＝900，
(1＋2＋2＋3＋4＋4＋6＋8)2＝302＝900，
于是，13＋23＋23＋33＋43＋43＋63＋83＝(1＋2＋2＋3＋4＋4＋6＋8)2。
又一次验证了刘维尔的发现。
自然数里的奥秘实在是太多了，往往会给人带来绝对意想不到的惊喜。刘维尔的发现触及这个神秘世界的深处。这件事再次向人们展示：人的认识能力是无限的。关键要看你有没有兴趣，有没有毅力，当然也少不了命运之神对你的眷顾。
