GAP4.7/4.10.2軟件中尚不完善的有限環功能

104種24階環
gap> NumberSmallRings(18);
0
gap> NumberSmallRings(24);
0
390種16階環
gap> NumberSmallRings(16);
0//應該是390
16階循環環共有T(16)=|{1,2,4,8,16}|=5種,特徵都爲16。
R16_1=Z/256Z_<16>=M_16
R16_2=Z/32Z_<2>
R16_3=Z/48Z_<3>=Z/16Z=Z/16Z_<3>
R16_4=Z/64Z_<4>
R16_5=Z/128Z_<8>
R16_1：2有零因子交換無幺環,1,0,16,1,15,15,256,15,16
R16_2：2有零因子交換無幺環,1,0,16,1,3,7,80,15,16
R16_3：1有零因子交換幺環,1,1,8,2,3,3,48,7,16
R16_4：2有零因子交換無幺環,1,0,16,1,7,15,128,15,16
R16_5：2有零因子交換無幺環,1,0,16,1,7,15,192,15,16
ring 16.u.1=Z_16的運算爲模16加與模16乘，剩餘類環Z_16是有零因子環。
ring 2222.u.1=F_2×F_2×F_2×F_2，這個環可以看作域F_2上維數是4的向量空間
ring 2222.u.2=F_2×F_2×F_4
ring 2222.u.3=F_2×F_8
ring 2222.u.4=F_4×F_4
ring 2222.u.5=F_16

gap> R16_1:=RingByGenerators([ZmodnZObj(16,256)]);;R16_2:=RingByGenerators([ZmodnZObj(2,32)]);;R16_3:=RingByGenerators([ZmodnZObj(3,48)]);;R16_4:=RingByGenerators([ZmodnZObj(4,64)]);;R16_5:=RingByGenerators([ZmodnZObj(8,128)]);;R16_6:=DirectSum(ZmodnZ(8),ZmodnZ(2));;R16_100:=DirectSum(ZmodnZ(4),ZmodnZ(4));;R16_200:=DirectSum(DirectSum(GF(2),GF(2)),ZmodnZ(4));;R16_300:=FullMatrixAlgebra(GF(2),2);;R16:=[R16_1,R16_2,R16_3,R16_4,R16_5,R16_6,R16_100,R16_200,R16_300];;I:=0;;for R in R16 do I:=I+1;L:=Elements(R);n1:=0;for i1 in L do if InverseMutable(i1)=fail then n1:=n1+1;fi;od;n2:=0;for i2 in L do if IsIdempotent(i2) then n2:=n2+1;fi;od;n3:=0;for i3 in L do if IsOne(i3) then n3:=n3+1;fi;od;n4:=0;for i4 in L do if IsZero(i4)=false and i4^2=Zero(R) then n4:=n4+1;fi;od;n5:=0;for i5 in L do if IsZero(i5)=false and i5^3=Zero(R) then n5:=n5+1;fi;od;n6:=0;for i6 in L do for j6 in L do if IsZero(i6*j6) then n6:=n6+1;fi;od;od;n7:=0;;for i7 in L do for j7 in L do if IsZero(i7)=false and IsZero(j7)=false and IsZero(i7*j7) then n7:=n7+1;break;fi;od;od;i:=I;if I=0 then i:=4;fi;Print("I=",i,",特徵：",Characteristic(R),",不可逆元個數n1=",n1,",冪等元個數n2=",n2,",是否交換：",IsAbelian(R),",是否有幺元=",n3=1,",2次冪零元個數n4=",n4,",2~3次冪零元個數n5=",n5,",零乘個數n6=",n6,",零因子個數n7=",n7,"\n");od;
I=1,特徵：256,不可逆元個數n1=16,冪等元個數n2=
1,是否交換：true,是否有幺元=false,2次冪零元個數n4=15,2~3次冪零元個數n5=15,零乘個數n6=
256,零因子個數n7=15
I=2,特徵：32,不可逆元個數n1=16,冪等元個數n2=
1,是否交換：true,是否有幺元=false,2次冪零元個數n4=3,2~3次冪零元個數n5=7,零乘個數n6=
80,零因子個數n7=15
I=3,特徵：48,不可逆元個數n1=16,冪等元個數n2=
2,是否交換：true,是否有幺元=false,2次冪零元個數n4=3,2~3次冪零元個數n5=3,零乘個數n6=
48,零因子個數n7=7
I=4,特徵：64,不可逆元個數n1=16,冪等元個數n2=
1,是否交換：true,是否有幺元=false,2次冪零元個數n4=7,2~3次冪零元個數n5=15,零乘個數n6=
128,零因子個數n7=15
I=5,特徵：128,不可逆元個數n1=16,冪等元個數n2=
1,是否交換：true,是否有幺元=false,2次冪零元個數n4=7,2~3次冪零元個數n5=15,零乘個數n6=
192,零因子個數n7=15
I=6,特徵：fail,不可逆元個數n1=0,冪等元個數n2=
4,是否交換：true,是否有幺元=true,2次冪零元個數n4=1,2~3次冪零元個數n5=3,零乘個數n6=
60,零因子個數n7=11
I=7,特徵：fail,不可逆元個數n1=0,冪等元個數n2=
4,是否交換：true,是否有幺元=true,2次冪零元個數n4=3,2~3次冪零元個數n5=3,零乘個數n6=
64,零因子個數n7=11
I=8,特徵：fail,不可逆元個數n1=0,冪等元個數n2=
8,是否交換：true,是否有幺元=true,2次冪零元個數n4=1,2~3次冪零元個數n5=1,零乘個數n6=
72,零因子個數n7=13
I=9,特徵：2,不可逆元個數n1=10,冪等元個數n2=
8,是否交換：false,是否有幺元=true,2次冪零元個數n4=3,2~3次冪零元個數n5=3,零乘個數n6=
58,零因子個數n7=9
特徵爲8、加法羣爲C_8×C_2的16階環分配編號空間6~100（近似上限值）
特徵爲4、加法羣爲C_4×C_4的16階環分配編號空間100~200（近似上、下限值）
特徵爲4、加法羣爲C_4×C_2×C_2的16階環分配編號空間200~300（近似上、下限值）
特徵爲2的16階環分配編號空間300~390（近似下限值）
12階環、2階環的直積共有22*2=44種
8階環、3階環的直積共有52*2=104種
4階環、6階環的直積共有11*4=44種
美國數學家納坦·雅各布森（Nathan Jacobson，1910.10.5-1999.12.5，又譯作雅可布孫、賈克勃遜）對於半單環的分類，創立了他的結構理論。他認爲對任意環均可引進根基的概念，而對阿廷環來說，根基就是一組真冪零元。
有限半單環的個數：
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 13, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 2, 2
No：
1, 1, 2, 3, 6, 8, 13, 18, 29, 40, 58, 79, 115, 154, 213, 284, 391, 514, 690, 900, 1197, 1549, 2025, 2600, 3377, 4306, 5523, 7000, 8922, 11235, 14196, 17777, 22336, 27825, 34720, 43037, 53446, 65942, 81423, 100033, 122991, 150481, 184149, 224449, 273614, 332291
有限非交換環的個數：
0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 18, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 228, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 36, 2, 0, 23, 4, 0, 0, 0
有限交換環的個數：
1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2
有限幺環的個數：
1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4