GAP4.7/4.10.2软件中尚不完善的有限环功能

104种24阶环
gap> NumberSmallRings(18);
0
gap> NumberSmallRings(24);
0
390种16阶环
gap> NumberSmallRings(16);
0//应该是390
16阶循环环共有T(16)=|{1,2,4,8,16}|=5种,特征都为16。
R16_1=Z/256Z_<16>=M_16
R16_2=Z/32Z_<2>
R16_3=Z/48Z_<3>=Z/16Z=Z/16Z_<3>
R16_4=Z/64Z_<4>
R16_5=Z/128Z_<8>
R16_1：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,15,15,256,15,16
R16_2：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,3,7,80,15,16
R16_3：1有零因子交换幺环,1,1,8,2,3,3,48,7,16
R16_4：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,7,15,128,15,16
R16_5：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,7,15,192,15,16
ring 16.u.1=Z_16的运算为模16加与模16乘，剩余类环Z_16是有零因子环。
ring 2222.u.1=F_2×F_2×F_2×F_2，这个环可以看作域F_2上维数是4的向量空间
ring 2222.u.2=F_2×F_2×F_4
ring 2222.u.3=F_2×F_8
ring 2222.u.4=F_4×F_4
ring 2222.u.5=F_16

gap> R16_1:=RingByGenerators([ZmodnZObj(16,256)]);;R16_2:=RingByGenerators([ZmodnZObj(2,32)]);;R16_3:=RingByGenerators([ZmodnZObj(3,48)]);;R16_4:=RingByGenerators([ZmodnZObj(4,64)]);;R16_5:=RingByGenerators([ZmodnZObj(8,128)]);;R16_6:=DirectSum(ZmodnZ(8),ZmodnZ(2));;R16_100:=DirectSum(ZmodnZ(4),ZmodnZ(4));;R16_200:=DirectSum(DirectSum(GF(2),GF(2)),ZmodnZ(4));;R16_300:=FullMatrixAlgebra(GF(2),2);;R16:=[R16_1,R16_2,R16_3,R16_4,R16_5,R16_6,R16_100,R16_200,R16_300];;I:=0;;for R in R16 do I:=I+1;L:=Elements(R);n1:=0;for i1 in L do if InverseMutable(i1)=fail then n1:=n1+1;fi;od;n2:=0;for i2 in L do if IsIdempotent(i2) then n2:=n2+1;fi;od;n3:=0;for i3 in L do if IsOne(i3) then n3:=n3+1;fi;od;n4:=0;for i4 in L do if IsZero(i4)=false and i4^2=Zero(R) then n4:=n4+1;fi;od;n5:=0;for i5 in L do if IsZero(i5)=false and i5^3=Zero(R) then n5:=n5+1;fi;od;n6:=0;for i6 in L do for j6 in L do if IsZero(i6*j6) then n6:=n6+1;fi;od;od;n7:=0;;for i7 in L do for j7 in L do if IsZero(i7)=false and IsZero(j7)=false and IsZero(i7*j7) then n7:=n7+1;break;fi;od;od;i:=I;if I=0 then i:=4;fi;Print("I=",i,",特征：",Characteristic(R),",不可逆元个数n1=",n1,",幂等元个数n2=",n2,",是否交换：",IsAbelian(R),",是否有幺元=",n3=1,",2次幂零元个数n4=",n4,",2~3次幂零元个数n5=",n5,",零乘个数n6=",n6,",零因子个数n7=",n7,"\n");od;
I=1,特征：256,不可逆元个数n1=16,幂等元个数n2=
1,是否交换：true,是否有幺元=false,2次幂零元个数n4=15,2~3次幂零元个数n5=15,零乘个数n6=
256,零因子个数n7=15
I=2,特征：32,不可逆元个数n1=16,幂等元个数n2=
1,是否交换：true,是否有幺元=false,2次幂零元个数n4=3,2~3次幂零元个数n5=7,零乘个数n6=
80,零因子个数n7=15
I=3,特征：48,不可逆元个数n1=16,幂等元个数n2=
2,是否交换：true,是否有幺元=false,2次幂零元个数n4=3,2~3次幂零元个数n5=3,零乘个数n6=
48,零因子个数n7=7
I=4,特征：64,不可逆元个数n1=16,幂等元个数n2=
1,是否交换：true,是否有幺元=false,2次幂零元个数n4=7,2~3次幂零元个数n5=15,零乘个数n6=
128,零因子个数n7=15
I=5,特征：128,不可逆元个数n1=16,幂等元个数n2=
1,是否交换：true,是否有幺元=false,2次幂零元个数n4=7,2~3次幂零元个数n5=15,零乘个数n6=
192,零因子个数n7=15
I=6,特征：fail,不可逆元个数n1=0,幂等元个数n2=
4,是否交换：true,是否有幺元=true,2次幂零元个数n4=1,2~3次幂零元个数n5=3,零乘个数n6=
60,零因子个数n7=11
I=7,特征：fail,不可逆元个数n1=0,幂等元个数n2=
4,是否交换：true,是否有幺元=true,2次幂零元个数n4=3,2~3次幂零元个数n5=3,零乘个数n6=
64,零因子个数n7=11
I=8,特征：fail,不可逆元个数n1=0,幂等元个数n2=
8,是否交换：true,是否有幺元=true,2次幂零元个数n4=1,2~3次幂零元个数n5=1,零乘个数n6=
72,零因子个数n7=13
I=9,特征：2,不可逆元个数n1=10,幂等元个数n2=
8,是否交换：false,是否有幺元=true,2次幂零元个数n4=3,2~3次幂零元个数n5=3,零乘个数n6=
58,零因子个数n7=9
特征为8、加法群为C_8×C_2的16阶环分配编号空间6~100（近似上限值）
特征为4、加法群为C_4×C_4的16阶环分配编号空间100~200（近似上、下限值）
特征为4、加法群为C_4×C_2×C_2的16阶环分配编号空间200~300（近似上、下限值）
特征为2的16阶环分配编号空间300~390（近似下限值）
12阶环、2阶环的直积共有22*2=44种
8阶环、3阶环的直积共有52*2=104种
4阶环、6阶环的直积共有11*4=44种
美国数学家纳坦·雅各布森（Nathan Jacobson，1910.10.5-1999.12.5，又译作雅可布孙、贾克勃逊）对于半单环的分类，创立了他的结构理论。他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元。
有限半单环的个数：
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 13, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 2, 2
No：
1, 1, 2, 3, 6, 8, 13, 18, 29, 40, 58, 79, 115, 154, 213, 284, 391, 514, 690, 900, 1197, 1549, 2025, 2600, 3377, 4306, 5523, 7000, 8922, 11235, 14196, 17777, 22336, 27825, 34720, 43037, 53446, 65942, 81423, 100033, 122991, 150481, 184149, 224449, 273614, 332291
有限非交换环的个数：
0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 18, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 228, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 36, 2, 0, 23, 4, 0, 0, 0
有限交换环的个数：
1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2
有限幺环的个数：
1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4