基礎線代公式彙總

原創

Jaihk662

2020-02-21 14:10

相關專業大學時都學過線代，然而等到真正需要用的時候，已經過去好久了導致很多東西都忘了，所以需要專門開一貼記錄一下，這裏就當是個彙總吧

1)：向量點乘與其向量夾角之間的關係：

$\mathrm{a} \bullet b=\|a\| b \| \cos \theta$

2)：向量b在向量a上的投影（其中 $\theta$ 爲向量ab之間的夾角）：

$b_{1} = {|b|}\frac a{|a|}\cos\theta$
3)：向量a和b的叉乘（積）：

${\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}} = \left| \begin{array}{ccc} {\mathbf{i}} & {\mathbf{j}} & {\mathbf{k}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \end{array} \right|$ ，其中i, j, k爲基向量

a和b的向量積同時垂直於這兩個向量
維向量不存在向量積
計算二維向量的向量積時，第三維補0，同上公式

4)：轉置矩陣、標準伴隨矩陣、代數餘子式、逆矩陣與正交矩陣

設矩陣 $M = \left[ \begin{array}{lll} {4} & {5} & {8} \\ {6} & {5} & {9} \\ {7} & {3} & {1} \end{array} \right]$ ，這個M必須爲方陣，不然就是換維操作，沒有下面的東西

轉置矩陣：行列翻轉， $M^{T} = \left[ \begin{array}{lll} {4} & {6} & {7} \\ {5} & {5} & {3} \\ {8} & {9} & {1} \end{array} \right]$
餘子式：矩陣對應行列式去掉某一行某一列後的新行列式： $M_{23} = \left[ \begin{array}{ll} {4} & {6} \\ {8} & {9} \end{array} \right]$
代數餘子式矩陣：顯然一個的行列式共有個餘子式，這個餘子式的值（代數餘子式）構成的矩陣即代數餘子式矩陣，代數餘子式與餘子式之間的關係： $A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}$
標準伴隨矩陣：接上，即代數餘子式構成的方陣進行轉置後得到： $M^* = \left[ \begin{array}{lll} {A_{11}} & {A_{21}} & {A_{31}} \\ {A_{12}} & {A_{22}} & {A_{32}} \\ {A_{13}} & {A_{23}} & {A_{33}} \end{array} \right]$
逆矩陣：矩陣本質上就是對空間的線性變換，而逆矩陣的意義就是將進行了對應線性變換後的空間再“變回去”，即滿足 $MM^{-1} = E$ ，其中爲單位矩陣，標準求法： $M^{-1}=\frac{1}{|M|} M^{*}$ ，其中爲矩陣對應行列式的值（當然了，這個行列式的值不可爲0，值爲0就意味着不存在可逆矩陣）
正交矩陣：滿足的矩陣，矩陣中任意兩個向量兩兩正交，且長度爲1