我們知道在以太網幀的末尾有一個叫FCS的東西。
全稱：Frame Check Sequence，中文名：幀檢驗序列
這個東西是用來檢驗我們的數據是否在傳輸的過程中被破壞（不一定是收到攻擊，也可能是一些物理干擾），以更好的安排重發。
而其中最常用的，也是檢錯能力很強的，就是CRC，循環冗餘校驗碼。
操作流程
一個小背景知識
模二除法，或者說在數域{1，0}上的除法。
與普通除法類似，它也可以列豎式計算，但是唯一不同的，是相減的那一步。
我們這裏的除法，在相減時，遵循一下規則：
- 1-1=0
- 1-0=1
- 0-1=1
- 0-0=0
- 不進位，也不借位
舉個例子。
我相信應該很清楚了。（手畫的，不容易）
生成
首先，我們需要一個除數，這個除數可以按照某個行業標準來，比如：
IBM的SDLC（同步數據鏈路控制）規程中使用的CRC-16爲：11000000000000101，在ISO HDLC（高級數據鏈路控制）規程、ITU的SDLC、X.25、V.34、V.41、V.42等中使用CCITT-16爲：11000000000100001。
當然這裏做個實驗，我們也可以隨機生成，但是有一點要求，最高位和最低爲必須爲1，這一點需要注意。
接下來，我們把數據左移（k-1）位，補零，這就是我們的被除數。
然後用這個被除數和除數做模二除法得到餘數。
這個餘數（k-1位，不足的話，左側補零），就是加在數據末尾的FCS。
然後我們把它加在數據末尾即可。
校驗
那麼我們如何校驗呢？
直接把我們得到的串（包含FCS），對除數再做一次模二除法，如果餘數是零，則說明數據完好。如果不爲0，則說明數據遭到破壞，需要安排重發。
代碼實現
相信看了上面的內容，應該很容易實現代碼，下面給出我寫的代碼：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
struct bin{//二進制數據
int num[100000];
int len;
void init(){//初始化爲0
len=1;
memset(num,0,sizeof(num));
}
void read(){//讀入數字
char c[100000];
scanf("%s",c);
len=strlen(c);
for(int i=0;i<len;i++){
num[i]=c[len-i-1]-'0';
}
}
void clean(){//清除前導0
for(int i=99999;i>=0;i--){
if(num[i]==1){
len=i+1;
return;
}
}
len=1;
}
void gen(int k){//隨機生成
len=k;
num[len-1]=num[0]=1;
for(int i=1;i<len-1;i++){
num[i]=rand()%2;
}
}
bin operator =(bin b){//賦值符號
len=b.len;
for(int i=0;i<len;i++){
num[i]=b.num[i];
}
return *this;
}
bin operator +(bin b){//加法
bin c;
c.init();
c.len=max(b.len,len);
for(int i=0;i<c.len;i++){
c.num[i]=num[i]+b.num[i];
}
return c;
}
bin operator <<=(int b){//左移
for(int i=len-1;i>=0;i--){
num[i+b]=num[i];
num[i]=0;
}
len+=b;
return *this;
}
bin operator /(bin b){//除法取餘數（返回值爲餘數）
bin c;
c.init();
c=*this;
for(int i=c.len-1;i>=0&&i>=(b.len-1);i--){
if(!c.num[i]){
continue;
}
for(int j=i;j>i-b.len;j--){
c.num[j]-=b.num[j-i+b.len-1];
if(c.num[j]<0){
c.num[j]=1;
}
}
}
c.clean();
return c;
}
int operator ==(bin b){//等於號
if(b.len!=len){
return 0;
}
for(int i=0;i<len;i++){
if(num[i]!=b.num[i]){
return 0;
}
}
return 1;
}
void print(){//打印
for(int i=len-1;i>=0;i--){
printf("%d",num[i]);
}
printf("\n");
}
};
int main(){
//設定k值
int k=5;
srand(time(0));
//定義各種量
bin text,key,div,txt,zero;
//初始化
div.init();
key.init();
txt.init();
zero.init();
text.init();
//生成
text.read();//讀入數據
key.gen(5);//生成除數
txt=text;
txt<<=(k-1);//數據左移
div=txt/key;//取餘數 （FCS）
txt=txt+div;// 合成
//模擬破壞
// txt.num[txt.len/2]^=1;
//校驗
txt=txt/key;
if(txt==zero){
printf("The data are OK!");
} else{
printf("The data are fault!");
}
return 0;
}
還可以完善的，我就不進一步完善了。
一些數學原理
之前有說數學背景，但是那只是爲了能理解其過程，但並不能讓我們明白爲什麼是這樣。
所以這裏擴展了一塊內容，根據興趣閱讀一下吧！
生成多項式
不知道怎麼說，就舉例說明吧。
如
其對應的除數分別爲：
- 11000000000000101
- 10001000000100001
- 100000100110000010001110110110111
我相信你應該明白了。
爲什麼餘數爲0
我們剛剛介紹了模二除法。
這裏我們再說一個模二加法。
- 1+1=0
- 1+0=1
- 0+0=0
- 不進位
爲什麼是這樣定義？
因爲模二。
所以你只要讓結果對2取模，你就知道爲什麼會這樣了。
我們設原數據左移後爲t，除數爲a，商爲s，餘數爲r。
所以有：t=as+r
而我們傳遞的是t+r
即t+r=as+r+r
有什麼問題？
我們看一下r+r
注意這裏是模二加法，不進位，且1+1=0+0=0，
而r和r是一樣的，所以模二相加後，就是0！
所以式子變爲：t+r=a*s
這樣的話(t+r)模二除以a，自然餘數爲0。
這就是爲什麼我們可以這麼做。
校驗成功一定沒錯嗎？
不一定！
有可能會出現某幾位錯了，但是判斷結果是對的。
那麼概率是多少呢？
假設FCS爲32位（4字節）
數據我們取爲8000位（1000字節，此處數據大小取了一箇中值，以太網幀中的數據通常爲46~1500字節）（當然了，其實從後面的結果可以知道此處並無影響）
8000位數據，最大爲8000個1，最小爲1（7999個0）。
進行二進制除法，商最大爲7969位，總共有27969個可能的商。
總共可能破壞的結果爲28000.
所以誤判的概率爲P=(27969-1)/28000
也就約爲1/231，即1/2,147,483,648
這概率是多大呢？
差不多是生一個六胞胎的概率吧。
想一想，你身邊有幾個六胞胎？你聽過幾個六胞胎？
因此，其檢錯能力是很強的。重點是算法也很簡單，方便實際應用。
結束語
這就是今天對CRC的探究，喜歡的話點一個讚唄！
有什麼問題也歡迎與我討論！
