網絡流與線性規劃24題09方格取數問題

原創

2020-02-21 17:46

問題描述：
在一個有m*n 個方格的棋盤中，每個方格中有一個正整數。現要從方格中取數，使任
意2 個數所在方格沒有公共邊，且取出的數的總和最大。試設計一個滿足要求的取數算法。編程任務：
對於給定的方格棋盤，按照取數要求編程找出總和最大的數。
數據輸入：
由文件input.txt提供輸入數據。文件第1 行有2 個正整數m和n，分別表示棋盤的行數
和列數。接下來的m行，每行有n個正整數，表示棋盤方格中的數。
結果輸出:
程序運行結束時，將取數的最大總和輸出到文件output.txt中。
輸入示例輸出示例
3 3 11
1 2 3
3 2 3

2 3 1

分析：

二分圖最大點權獨立集問題。最大獨立集和最小覆蓋數是互補的。所以這題就轉化爲了求最小點權覆蓋集。最小點權覆蓋集就是最小簡單割，最小割又可以用網絡流解。

故，最大點權獨立集 = 所有點權 - 最小點權覆蓋集 = 所有點權 - 最小割集 = 所有點權 - 網絡最大流。

建模方法也簡單，就是染色使所有相鄰的點顏色不一樣，兩種顏色對應二分圖XY頂點，然後所有X頂點若和Y頂點相鄰，則加一條無窮容量的邊，S向所有X頂點加容量爲點權的邊，所有Y頂點向T點加容量爲點權的邊。然後求一次最大流即可。這題和02題比較相似。

這題思想很簡單沒什麼變化的地方，所以代碼也不需要什麼註釋了吧。

代碼：

#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxm = 30 ;
const int maxn = maxm * maxm;
const int INF = 1<<30;
struct edge{
    int from,to,cap,flow;
    edge(int a,int b,int c,int d):from(a),to(b),cap(c),flow(d){}
};
vector<int> g[maxn];
vector<edge> edges;
bool visit[maxn];
int d[maxn];
int cur[maxn];
int table[maxm][maxm];
int s,t;
void addedge(int from,int to,int cap)
{
    edges.push_back(edge(from,to,cap,0));
    edges.push_back(edge(to,from,0,0));
    int m=edges.size();
    g[from].push_back(m-2);
    g[to].push_back(m-1);
}

bool BFS()
{
    memset(visit,false,sizeof(visit));
    d[s]=0;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    visit[s]=true;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<g[x].size();i++){
            edge &e=edges[g[x][i]];
            if(!visit[e.to]&&e.cap>e.flow){
                visit[e.to]=true;
                d[e.to]=d[x]+1;
                q.push(e.to);
            }
        }
    }
    return visit[t];
}
int DFS(int x,int a)
{
    if(x==t||a==0) return a;
    int flow=0,f;
    for(int &i=cur[x];i<g[x].size();i++){
        edge &e=edges[g[x][i]];
        if(d[e.to]==d[x]+1&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
            flow+=f;
            a-=f;
            e.flow+=f;
            edges[g[x][i]^1].flow-=f;
            if(a==0) break;
        }
    }
    return flow;
}
int main()
{
    int r,c;
    int sum=0;
    scanf("%d%d",&r,&c);
    for(int i=0;i<r;i++){
        for(int j=0;j<c;j++){
            scanf("%d",&table[i][j]);
            sum+=table[i][j];
        }
    }
    s=r*c;t=s+1;
    for(int i=0;i<r;i++){
        for(int j=0;j<c;j++){
            if(((i+j)&1)==0){
                addedge(s,i*c+j,table[i][j]);
                if(i>0) addedge(i*c+j,(i-1)*c+j,INF);
                if(j>0) addedge(i*c+j,i*c+j-1,INF);
                if(i<r-1) addedge(i*c+j,(i+1)*c+j,INF);
                if(j<c-1) addedge(i*c+j,i*c+j+1,INF);
            }else addedge(i*c+j,t,table[i][j]);
        }
    }
    int flow=0;
    while(BFS()){
        memset(cur,0,sizeof(cur));
        flow+=DFS(s,INF);
    }
    printf("%d\n",sum-flow);
    return 0;
}