統計在從1到n的正整數中1出現的次數

統計在從1到n的正整數中1出現的次數

1、最直觀的想法，求1到n中每個整數中1出現的次數，然後相加即可。而求每個十進制整數中1出現的次數，我們先判斷這個數的個位數是否是1，如果這個數大於10，除以10之後再判斷個位數是否爲1，循環直至求出該整數包含1的個數。

代碼如下：

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
#include <math.h>
using namespace std;

//某個整數中1出現的次數
int NumberOf1(unsigned int n)
{
	int number = 0;	
	while(n)
	{	
		if(n % 10 == 1)		
			number ++;	
		n = n / 10;	
	}

	return number;
}

//求1到n中所有整數中1出現的總次數
int NumberOf1Between1AndN_Solution1(unsigned int n)
{
	int number = 0;	
	for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)		
		number += NumberOf1(i);	

	return number;
}

void main()
{
	cout<<NumberOf1Between1AndN_Solution1(21345)<<endl; //18821
}

2、上面的思路有一個非常明顯的缺點就是每個數字都要計算1在該數字中出現的次數，因此時間複雜度是O(n)。當輸入的n非常大的時候，需要大量的計算，運算效率很低。我們試着找出一些規律，來避免不必要的計算。

        我們用一個稍微大一點的數字21345作爲例子來分析。我們把從1到21345的所有數字分成兩段即1-1345和1346-21345（分段好處在於便於進行遞歸運算，因爲1345位21345去掉最高位的結果）。

        先來看1346-21345中1出現的次數。1的出現分爲兩種情況：一種情況是1出現在最高位（萬位）。從1到21345的數字中，1出現在10000-19999這10000個數字的萬位中，一共出現了10000（10^4）次；另外一種情況是1出現在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，這20000個數字中後面四位中1出現的次數是2000次（2*10^3，其中2的第一位的數值，10^3是因爲數字的後四位數字其中一位爲1，其餘的三位數字可以在0到9這10個數字任意選擇，由排列組合可以得出總次數是2*10^3）。

        至於從1到1345的所有數字中1出現的次數，我們就可以用遞歸地求得了。這也是我們爲什麼要把1-21345分爲1-1345和1346-21345兩段的原因。因爲把21345的最高位去掉就得到1345，便於我們採用遞歸的思路。

        分析到這裏還有一種特殊情況需要注意：前面我們舉例子是最高位是一個比1大的數字，此時最高位1出現的次數10^4（對五位數而言）。但如果最高位是1呢？比如輸入12345，從10000到12345這些數字中，1在萬位出現的次數就不是10^4次，而是2346次了，也就是除去最高位數字之後剩下的數字再加上1。

基於前面的分析，我們可以寫出以下的代碼。在參考代碼中，爲了編程方便，我把數字轉換成字符串了。

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
#include <math.h>
using namespace std;

//1到n字符串中包含1的總個數
int CharNumberOf1(const char *strN)
{
	int numFirstDigit=0,numOtherDigit=0,numRecursive=0;
	int len=strlen(strN);
	int firstDigit=*strN-'0'; 
	if(len==1&&firstDigit==0)
		return 0;
	if(len==1&&firstDigit>0)
		return 1;
	//首位爲1的個數
	if(firstDigit==1)
		numFirstDigit=atoi(strN+1)+1;
	else
		numFirstDigit=pow(10,len-1);
	//其他位爲1的個數
	numOtherDigit=firstDigit*(len-1)*pow(10,len-2);
	//遞歸的位爲1的個數
	numRecursive=CharNumberOf1(strN+1);

	return numFirstDigit+numOtherDigit+numRecursive;
}

//1到n整數中包含1的總個數
int NumberOf1(int n)
{
	char strN[50];
	sprintf(strN,"%d",n);

	return CharNumberOf1(strN);
}

void main()
{
	cout<<NumberOf1(21345)<<endl; //18821
}