組合數C(n,m)的求法總結，盧卡斯定理

組合數C(n,k)的求法總結

與組合數有關的兩個最重要內容是楊輝三角和二項式定理。

楊輝三角前10行如下所示：

另一方面，將(a+b)^n展開，係數正好和楊輝三角一致。

一般有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n)b^n。

給定n，如何求出(a+b)^n所有項的係數呢？

方法一，遞推，利用楊輝三角的性質，當前數等於上方兩個數的和，表現在組合數上就是C(n,m)=C(n,m-1)+C(n-1,m-1)。

代碼如下：

memset(C,0,sizeof(C));
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                C[i][j] = C[i][j - 1] + C[i - 1][j - 1];
        }
}

但是複雜度是n^2。

方法二，利用等式C(n,k)=(n-k+1)/k*C(n,k-1)。從C(n,0)=1開始遞推。

代碼：

C[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        C[i] = (n-i+1)*C[i-1]/i;
}

注意應該先除後乘，因爲C[i-1]/i可能不是整數。但可能溢出。

上邊等式的意義不是很明顯，但很容易用組合數公式C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)證明。

方法三，盧卡斯定理

待寫

參考：http://baike.baidu.com/view/7804.htm