原文：http://www.matrix67.com/blog/archives/5941#more-5941
Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣題站 2014 年 4 月的謎題中提出了一個這樣的問題：在最近非常流行的小遊戲 2048 中，你能得到的最大的數是多少？
在這裏，我們簡單描述一下游戲的規則。遊戲在一個 4 × 4 的棋盤上進行，棋盤裏填有一個個的“數塊”，每個數塊上都寫有某個形如 2n 的正整數。每一步，你需要從上、下、左、右四個方向中選取一個方向，按下對應的方向鍵之後，所有的數塊都會“落”到這個方向；若有兩個同種的數塊在此過程中發生碰撞，則它們的值會相加起來，併合成一個新的數塊。然後，系統會在棋盤中隨機選擇一個空白位置，並在此生出一個新的數塊，上面寫有數字 2 或者數字 4 （兩種情況之比爲 9 : 1）。遊戲開始時，棋盤上會自動生成兩個隨機的數塊，你的目標就是通過有限步的操作，得出一個寫有 2048 的數塊。當然，即使得到了 2048 這個數塊，遊戲也不會自動結束，你還可以向更大的數發起挑戰。於是就有了我們剛纔的問題：理論上，這個遊戲當中能夠得到的最大的數是多少？
可以證明，我們永遠不可能在 2048 當中玩出 218 這個數。
讓我們把棋盤上的所有數全部加起來，並在累加過程中不斷關注當前總和的二進制表達。如果棋盤裏的數分別是 2, 4, 16, 64, 16, 2 的話，累加結果的二進制表達依次爲 10 → 110 → 10110 → 1010110 → 1100110 → 1101000 。你會發現，由於棋盤上的每個數都是形如 2n 的正整數，因而把它加進總和之後，這個總和的二進制表達裏最多隻會多出一個數字 1 （如果發生了進位，數字 1 的個數可能會不變甚至減少）。這意味着，如果最終棋盤上的所有數之和的二進制表達當中一共有 k 個數字 1 ，那就說明剛纔至少有 k 個數在相加，換句話說棋盤裏至少有 k 個數塊。
容易看出，每走一步之後，棋盤上的所有數之和都會增加 2 或者 4 。如果最終棋盤上出現了一個 218 ，就說明棋盤上的所有數之和至少是 218 ，那麼在此之前棋盤上的所有數之和一定經歷過 218 – 2 或者 218 – 4 。前者的二進制表達爲 11 1111 1111 1111 1110 ，這裏面有 17 個數字 1 ，超過了棋盤裏總的格子數，因而顯然是不可能的。後者的二進制表達是 11 1111 1111 1111 1100 ，這裏面有 16 個數字 1 ，正好是棋盤裏總的格子數。這說明，此時棋盤剛好被填滿， 22, 23, 24, …, 217 這 16 種不同的數塊各有一個。這意味着棋盤裏不但沒有空白的格子，也沒有相同種類的數塊可以合併，此時玩家直接就死掉了！因而，我們是沒有辦法得到 218的。
因此， 217 = 131072 成爲了 2048 這個遊戲中數塊大小的一個理論上限。但是，我們真的能弄出 131072 嗎？看上去，我們好像只需要構造出下圖所示的局面就行了，但這個局面本身能否實現，還有待進一步討論。 Michael Brand 猜測，理論上 131072 也是無法得到的，但他不能證明這一點。我雖然在網上看見過很多網友宣稱自己打出過 131072 ，甚至有的網友發出了最後幾步的視頻（比如這裏），但由於我從來沒有看到過完整的演示過程，因而也持懷疑態度。期待萬能的網友們能夠提供一種簡潔有效的構造解，來說明當運氣足夠好的情況下，我們有辦法打出 131072 ；或者找到一個更好的證明方法，足以說明 131072 也是理論上不可能實現的。
最後補充一句： 2048 的遊戲概念來源於另一款叫做 Threes! 的遊戲。如果你喜歡 2048 的話，建議你去購買 Threes! ，它無疑比 2048 更加精緻，更加有趣。我的 iPad 上只裝了一個遊戲，就是 Threes! 。
