vijos P1739 計算係數

描述

給定一個多項式(ax + by)^k，請求出多項式展開後x^n * y^m項的係數。

格式

輸入格式

共一行，包含5個整數，分別爲a，b，k，n，m，每兩個整數之間用一個空格隔開。

輸出格式

輸出共1行，包含一個整數，表示所求的係數，這個係數可能很大，輸出對10007取模後的結果。

樣例1

樣例輸入1[複製]

1 1 3 1 2

樣例輸出1[複製]

3

限制

1s

提示

對於30%的數據，有0 ≤ k ≤ 10；
對於50%的數據，有a = 1, b = 1；
對於100%的數據，有0 ≤ k ≤ 1000，0 ≤ n, m ≤ k，且n+m = k，0 ≤ a，b ≤ 1,000,000.

題解

爲了複習數論而做的。

以下是根據二項式係數滿足“楊輝三角形”而寫的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mod 10007
using namespace std;
int n,m,a,b,k;
int f[1002][1002],ans;
int main()
{
	int i,j;
	scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
	a=a%mod; b=b%mod;
	for(i=0;i<=k;i++) f[i][0]=1;
	for(i=1;i<=k;i++)
	for(j=1;j<=i;j++)
	   f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j])%mod;
	ans=f[k][m]%mod;
	for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans*a)%mod;
	for(i=1;i<=m;i++) ans=(ans*b)%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

加上快速冪。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mod 10007
using namespace std;
int n,m,a,b,k;
int f[1002][1002],ans;
int ksm(int x,int y)
{
	int s=1;
	while(y>0)
	   {if(y&1) s=(s*x)%mod;
	    x=(x*x)%mod;
	    y=y>>1;
	   }
	return s;
}
int main()
{
	int i,j;
	scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
	a=a%mod; b=b%mod;
	for(i=0;i<=k;i++) f[i][0]=1;
	for(i=1;i<=k;i++)
	for(j=1;j<=i;j++)
	   f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j])%mod;
	ans=f[k][m]%mod;
	ans=(ans*ksm(a,n))%mod;
	ans=(ans*ksm(b,m))%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

二項式係數可以換成求C（k!/((k-m)!*m!)），我們可以用O(m)的時間求出（k!/(k-m)!）mod 10007（設爲s1）和m！（設s2）mod 10007，即求出了s1mod 10007和s2 mod 10007。我們要的是（s1/s2）mod 10007=在mod10007的意義下的(s1*s2^(-1) )。所以我們要求在mod10007的意義下的s2^(-1)，因爲10007爲質數，所以根據費馬小定理：設10007=P，則s2 ^ (P-1) ≡1 (mod P)，兩邊同乘在mod P的意義下的s2 ^ (-1)可得：s2 ^ (P-2) ≡s2 ^ (-1) (mod P)，所以C（k!/((k-m)!*m!)）% P=(s1*s2 ^ (P-2) )mod P。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mod 10007
using namespace std;
int n,m,a,b,k;
int f[1002][1002],ans;
int ksm(int x,int y)
{
	int s=1;
	while(y>0)
	   {if(y&1) s=(s*x)%mod;
	    x=(x*x)%mod;
	    y=y>>1;
	   }
	return s;
}
int C(int x,int y)
{
	int i,s1=1,s2=1;
	if(y>x-y) y=x-y;
	for(i=1;i<=y;i++)
	   {s1=(s1*(x-i+1))%mod;
	    s2=(s2*i)%mod;
	   }
	return (s1*ksm(s2,mod-2))%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
	a=a%mod; b=b%mod;
	ans=C(k,m)%mod;
	ans=(ans*ksm(a,n))%mod;
	ans=(ans*ksm(b,m))%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}