一：KMP算法是一個模式匹配算法，他最原始的方法就是從主串進行一個個的進行匹配，然後返回主串中模式串的第一個字母在主串中的位置，依次進行返回就能查出有多少子串。然後對於有些模式串返回時會有一些無必要的比較，所以要用算法進行優化處理，使其算法的時間複雜度由O(n*m)簡化爲O（n+M）；
對於O(n*m)這個算法只能承受10的5次方以下的題。
1：next數組。
假設有一個字符串s（下標從0開始），那麼他的第i號位作爲結尾的子串就是s【0……i】。對該子串來說，長度爲k+1的前綴與後綴分別是s【0,……k】和s【i-k……i】。現在定義一個int型數組next，其中next表示 使子串s【0……i】的前綴s【0……k】等於後綴s【i-k……i】的最大k（注意前綴和後綴可以部分重疊，但不能是s【0……i】本身）；如果找不到相等的前綴和後綴，那麼令next【i】=-1.顯然，next【i】就是所求最長相等的前後綴中前綴最後一位的下標。
舉一個例子：對於模式串ababaab，next數組計算過程是：
i=0時，子串s[0……i]爲‘a’，所以找不到相等的前後綴，所以next【0】=-1；
i=1時，子串s【0……i】爲‘ab’，next【1】=-1；
i=2時，子串s【0……i】爲‘aba’，所以當k=0時，s【0，k】=‘a’，s【i-k，i】=‘a’；k=1時，s【0，k】=‘ab’，s【i-k，i】=‘ba’；所以next【2】=0；
i=3時，子串s【0……i】爲‘abab’，所以k=1時，s【0，k】=‘ab’，s【k，i】=‘ab’，所以next【3】=1；
i=4時，子串s【0……i】爲“ababa”，所以k=0時，s【0,0】=‘a’，s【4,4】=‘a’；k=1時，s【0,1】=‘ab’，s【3,4】=‘ba’，不成立；k=2時，s【0,2】=‘aba’
s【2，4】=‘aba’；k=3時，s【0,3】=‘abab’，s【1,4】=‘baba’，不成立。所以next【4】=2；
i=5時，子串s【0……i】爲‘ababaa’，所以當k=3時，s【0,3】=‘abab’，s【2,5】=‘abaa’，不成立等等，所以next【5】=0；
i=6時，子串s【0……i】爲‘ababaab’，所以當k=1時，s【0,1】=‘ab’，s【5,6】=‘ab’，所以next【6】=1；
注意：next數組中的k的值是最後一位的前綴的最後一個位置，要注意前綴加後綴可能不相等。
對於這個例子，我們求解next數組時用暴力進行計算時是非常耗時的，下面就是用遞推的方法進行計算。
作爲舉例，假設我們求出next【0】=-1，next【1】=-1，next【2】=0，next【3】=1，現在求解 next【4】。當我們已經的到next【3】=1，最長後綴爲
‘ab’，由於s【4】=‘a’=s【next【3】+1】所以next【4】=next【3】+1，最長後綴爲‘aba’；並讓j指向next【4】；
接着在此基礎上求解next【5】，當知道next【4】=2時，由於s【5】！=s【next【4】+1】，所以不能擴展最長相等的前後綴。次失敗，要用別的方法
進行處理了。此時若找到一個j使得s【5】=s【j+1】。然後怎樣找到這個j呢，你就需要不斷的用j=next【j】進行返回只要找到就使next【5】=j+1;
具體的實現代碼：
void next(char s[],int len){
int j=-1;
next[0]=-1;
for(int i=1;i<len;i++){
while(j!=-1&&s[i]!=s[j+1]){
j=next[j];//如果不相等的話，就不斷返回j=next【j】
}
if(s[i]==s[j+1]){//如果相等的話 ，就是next【i】=j+1；
j++;
}
next[i]=j;//令next【i】等於j
}
}
這段代碼每次只求一個next值，然後就是對於這個理解最難。對於每次求解next【i】時，總是用j指向next【i】，以方便求解next【i+1】之用。
還有一個從1開始的代碼;
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int next[25];
/*
//這個next函數是用來求從1開始的next值
void get(char t[]){
int i=1;
next[1]=0;
int j=0;
while(i<strlen(t)){
if(j==0||t[i]==t[j]){
i++;
j++;next[i]=j;
//printf("i=%d,j=%d,ne[%d]=%d\n",i,j,i,next[i]);
}
else{
j=next[j];
//printf("nex=%d\n",j);
}
}
for(int i=1;i<strlen(t);i++){
printf("%d",next[i]);
}
}*/
//這個next函數時更簡便的求一個函數的值
void nextnal(char t[]){
int i=1;
next[1]=0;
int j=0;
while(i<strlen(t)){
if(t[i]==t[j]||j==0){
i++,j++;
if(t[i]!=t[j]){
next[i]=j;
}
else{
next[i]=next[j];
}
}
else{
j=next[j];
}
}
for(int i = 1;i<strlen(t);i++){
printf("%d",next[i]);
}
}
int main(){
char t[20];
scanf("%s",t+1);
// get(t);
nextnal(t);
return 0;
}
然後就是KMP算法：
//計算a中是否存在b
bool kmp(char a[],char b[]){
int j=-1;
int n=strlen(a),m=strlen(b);
next(b,m);
for(int i=0;i<n;i++){
while(j!=-1&&a[i]!=b[j+1]){
j=next[j];
}
if(a[i]==b[j+1]){
j++;
}
if(j==m-1){
return true;
}
}
return false;
}
對於這個KMP算法就發現求解next數組就是求解KMP算法的實現。
求解next數組的過程其實就是模式串pattern進行自我匹配的過程。
//計算a中存在b的數量
bool kmp(char a[],char b[]){
int j=-1,ans=0;
int n=strlen(a),m=strlen(b);
next(b,m);
for(int i=0;i<n;i++){
while(j!=-1&&a[i]!=b[j+1]){
j=next[j];
}
if(a[i]==b[j+1]){
j++;
}
if(j==m-1){
ans++;
j=next[j];
}
}
return ans;
}對於求解next數組時，有些特殊例子：如aaaab，用next數組求就是01234，但我們發現這有些不必要的操作。所以還有更優的方法。
對於這個函數代碼只有最後一步與前面不同。
void next(char s[],int len){
int j=-1;
next[0]=-1;
for(int i=1;i<len;i++){
while(j!=-1&&s[i]!=s[j+1]){
j=next[j];//如果不相等的話，就不斷返回j=next【j】
}
if(s[i]==s[j+1]){//如果相等的話 ，就是next【i】=j+1；
j++;
}
if(j==-1||s[i+1]!=s[j+1]){
next[i]=j;
}
else{
next[i]=next[j];
}
}
}
從代碼中可以看出，只是對next【i】=j做了補充而已。
二：從有限狀態自動機的角度看待KMP算法
事實上，有限狀態自動機可以看做一個有向圖，其中頂點表示不同的狀態，邊表示狀態之間的轉移。
