组合数学笔记(一)

递推关系与生成函数

标签： 组合数学

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斐波那契数列

• Sn=f0+f1+...+fn=fn+2−1$S_n=f_0+f_1+...+f_n=f_{n+2}-1$
• 斐波那契数列fn是偶数,当且仅当n是3的倍数$斐波那契数列f_n是偶数,当且仅当n是3的倍数$
• 任意斐波那契数列通项是 fn=c1×(1+5√2)n+c2×(1−5√2)n$f_n=c_1\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n+c_2\times (\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$

帕斯卡三角形形从左下到右上对角线上二项式系数和是斐波那契数列(t=n+12$t=\frac{n+1}{2}$ )

• Fn=(n−1\0)+(n−2\1)+(n−32)+⋯(n−tt−1)$F_n=\left(\begin{array}{c}n-1\text{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-2\text{1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-3\\ 2\end{array}\right)+\cdots \left(\begin{array}{c}n-t\\ t-1\end{array}\right)$

生成函数

生成函数是无限可微函数的泰勒级数

设h0,h1,h2,⋯,hn⋯$h_0,h_1,h_2,\cdots ,h_n\cdots$ 是无穷级数,他的生成函数定义为无穷级数

g(x)=h0+h1x+h2x2+⋯+hmxm$$g(x)=h_0+h_{1}x+h_2{x}^2+\cdots +h_m{x}^m$$

牛顿二项式定理

设α是实数,对所有满足0≤|x|<|y|的x和y有$设\alpha 是实数,对所有满足0\le |x|<|y|的x和y有$

(x+y)α=∑k=0∞(αk)xkyα−k$$(x+y{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ k\end{array}\right)x^k{y}^{\alpha -k}$$

其中(αk)=α(α−1)⋯(α−k+1)k!$\left(\begin{array}{c}\alpha \\ k\end{array}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$
设z=x/y,则(x+y)α=yα(1+z)α$(x+y{)}^{\alpha }=y^{\alpha }(1+z{)}^{\alpha }$ 上述定理等价于

(1+z)α=∑k=0∞(αk)zk$$(1+z{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ k\end{array}\right)z^k$$

令α=−n$\alpha =-n$ 负整数则有

(αk)=(−nk)=−n(−n−1)⋯(−n−k+1)k!$$\left(\begin{array}{c}\alpha \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-n\\ k\end{array}\right)=\frac{-n(-n-1)\cdots (-n-k+1)}{k!}$$

=(−1)kn(n+1)⋯(n+k−1)k!=(−1)k(n+k−1k)$$=\frac{(-1{)}^{k}n(n+1)\cdots (n+k-1)}{k!}=(-1{)}^k\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)$$

因此对于|z|<1,有

(1+z)−n=1(1+z)n=∑k=0∞(n+k−1k)zk$$(1+z{)}^{-n}=\frac{1}{(1+z{)}^n}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)z^k$$

当n=1,有1(1−z)=1+z+z2+⋯+zm+⋯$当n=1,有\frac{1}{(1-z)}=1+z+z^2+\cdots +z^m+\cdots$
得1(1−z)k=(1+z+⋯+zm+⋯)⋯(1+z+⋯+zm+⋯)$得\frac{1}{(1-z{)}^k}=(1+z+\cdots +z^m+\cdots )\cdots (1+z+\cdots +z^m+\cdots )$
令hn是e1+e2+⋯+ek=n的非负整数解的个数,ei表示上面第i个取zi$令h_n是e_1+e_2+\cdots +e_k=n的非负整数解的个数,e_i表示上面第i个取z^i$
根据实际含义可以知道hn=Ck−1n+k−1$根据实际含义可以知道h_n=C_{n+k-1}^{k-1}$

例子
(1+x+x2+x3+x4+x5)(1+x+x2+x3)(1+x+x2+x3+x4)$(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4)$
设xe1,xe2,xe3是三项的代表项$设x^{e_1},x^{e_2},x^{e_3}是三项的代表项$那么e1+e2+e3=n解的个数就是最终展开合并xn的系数$那么e_1+e_2+e_3=n解的个数就是最终展开合并x^n的系数$
同理其他的限制条件都可以写成这种形式

逆序数与排列

设b1,b2,⋯,bn满足下列整数数列$设b_1,b_2,\cdots ,b_n满足下列整数数列$
0≤b1≤n−1,0≤b2≤n−2,⋯,0≤bn−1≤1,bn=0$0\le b_1\le n-1,0\le b_2\le n-2,\cdots ,0\le b_{n-1}\le 1,b_n=0$
一定存在一个唯一对于的排列{1,2,⋯,n}使得逆序列是{bi}$一定存在一个唯一对于的排列\{1,2,\cdots ,n\}使得逆序列是\{b_i\}$

构造算法(倒着根据bi$b_i$ 放):
n:写出n$n:写出n$
⋯:⋯$\cdots :\cdots$
i:考虑bi,bi是0,所有比他大的都在右边$i:考虑b_i,b_i是0,所有比他大的都在右边$
⋯:⋯$\cdots :\cdots$
1:考虑b1,⋯$1:考虑b_1,\cdots$

指数生成函数

g(e)(x)=∑∞n=0hnxαn!=h0+h1x+h2x22!+⋯+hnxnn!+⋯$g^{(e)}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_n\frac{x^{\alpha }}{n!}=h_0+h_{1}x+h_2\frac{x^2}{2!}+\cdots +h_n\frac{x^n}{n!}+\cdots$

例子
取P(n,k)是n元素集合的k排列,数目为n!(n−k)!$取P(n,k)是n元素集合的k排列,数目为\frac{n!}{(n-k)!}$

g(e)(x)=∑k=0∞n!(n−k)!n!xk=(1+x)n$$g^{(e)}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n-k)!n!}{x}^k=(1+x{)}^n$$

因此(1+x)n是数列P的指数生成函数$因此(1+x{)}^n是数列P的指数生成函数$

Catalan数

设hn表示凸(n+1)边形通过插入不相交对角线分成三角形区域的方法数$设h_n表示凸(n+1)边形通过插入不相交对角线分成三角形区域的方法数$

hn=h1hn−1+⋯+hn−1h1=∑k=1n−1hkhn−k(n≥2,h1=1)$$h_n=h_1{h}_{n-1}+\cdots +h_{n-1}{h}_1=\sum _{k=1}^{n-1}{h}_k{h}_{n-k}(n\ge 2,h_1=1)$$

则有

hn=1nCn−12n−2$$h_n=\frac{1}{n}{C}_{2n-2}^{n-1}$$

简明证明
g(x)是hn的生成函数,则有g(x)2−g(x)+x=0$g(x)是h_n的生成函数,则有g(x{)}^2-g(x)+x=0$
g(x)=g2(x)=1−1−4x√2=12−12(1−4x)12$g(x)=g_2(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}$
其中再用牛顿二项式定理,可得g(x)=∑∞n=11nCn−12n−2xn$其中再用牛顿二项式定理,可得g(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{C}_{2n-2}^{n-1}{x}^n$