【高等數學】導數存在是否蘊含導數連續？

問題描述：

首先這問題的結論顯然是錯誤的。

舉個例子，

 

常見的錯誤推導：

前提設定一下：

1.洛必達法則

2.拉格朗日中值定理

右→左：如果右邊的存在，x能以任意的方式趨近於x0，那麼當然對於ξ的序列，ξ的序列的極限也是x0，根據海涅定理二者相等。（導數極限定理）

左→右：如果左邊的存在，左邊只是一種特殊的情況，只是保證了拉格朗日對應的ξ可以趨近於x0，不能保證其他鄰域點也能成立。

 

所以，綜上所述，導數存在不能蘊含導數連續。

那麼，問題來了，什麼條件可以蘊含導數連續呢？