哈工大《微積分》——一元積分學與微分方程

第一講：原函數與不定積分

1. 原函數：$F^{'}(x)=f(x),F(x)爲f(x)的一個原函數.$
2. 不定積分：$F(x)+C.$
3. 不定積分的性質：
   3.1: $(\int \!f(x)dx)^{'}=f(x).$
   3.2: $\int \! f^{'}(x)dx=f(x)+C.$
4. 原函數的存在性：連續函數必有原函數；第一類間斷點處無原函數【證明】。
5. 不定積分的基本公式：$\int \!{1\over x}dx=ln\left| x\right|+C.$

第二講：第一換元積分法【複合函數求導法】

1. 第一換元積分法（湊微分）：$\int \!f(g(x))g^{'}(x)dx=\int \!f(g(x))dg(x).$
2. 第一換元積分公式補充：
   2.1 $\int \!f(ax+b)dx={1\over b}\int \!f(ax+b)d(ax+b).$
   2.2 $\int \!{1\over cosx}dx={1\over 2}ln\left|{1+sinx} \over {1-sinx} \right|+C=ln\left|{1\over cosx}+tanx\right|+C.$
3. 三角函數積分：
   3.1 【m,n一奇一偶則易湊微分;全爲偶數則用倍角公式降到一次】
   $\int \!sin^{m}xcos^{n}xdx.$
   3.2 【利用$1=sin^2x+cos^2x$轉化分子來降次,前者湊微分,後者分部積分】
   $\begin{aligned} &\int \!{1\over{sin^{m}xcos^{n}x}}dx \\ &\Rightarrow \Biggl( \int \!{sinx \over {cos^{k}x}}dx, \int \!{cosx\over {sin^{k}x}}dx\Biggr), \Biggl( \int \!{1\over {sin^{k}x}}dx, \int \!{1\over {cos^{k}x}}dx.\Biggr) \end{aligned}$
   3.3 【利用$tan^2x=sec^2x-1和cot^2x=csc^2-1來降次$】
   【結合$d(tanx)=sec^2x和d(cot)=-csc^2x$】
   $\begin{aligned} \int\!tan^{n}xdx &=\int\!tan^{n-2}x(sec^2x-1)dx\\ &=\int\!tan^{n-2}xd(tanx)-\int\!tan^{n-2}xdx.\\ \int\!cot^{n}xdx &=\int\!cot^{n-2}(csc^2-1)dx\\ &=-\int\!cot^{n-2}(1-csc^2)dx\\ &=-\Biggl( \int\!cot^{n-2}xdx+\int\!cot^{n-2}xd(cotx)\Biggr). \end{aligned}$
   3.4【利用$1=sin^2x+cos^2$轉換分母常數項$\rightarrow$齊次】
   $\begin{aligned} \int\!{1\over{a+bsin^2x}}dx &=\int\!{1\over{(a+b)sin^2x+acos^2x}}dx\\ &=\int\!{1\over{(a+b)+atan^2x}}\cdot sec^2xdx\\ &=\int\!{1\over{(a+b)+atan^2x}}d(tanx).\\ \int\!{1\over{a+bcos^2x}}dx. \end{aligned}$
4. 其他函數的湊微分：
   4.1 【遇到分母含$e^x$,分子加一項減一項】
   $\int\!{1\over {1+e^x}}dx=\int\!{ {1+e^x-e^x}\over {1+e^x} }dx.$
   4.2【局部求導法湊微分】
   $\int\!{x\over {x^2+2x+2}}dx.$

第三講：分部積分法【乘積函數求導法】

1. 分部積分法：$\int\!fdg=f\cdot g-\int\!g\,d\!f.$
2. 典型的分部積分：
   2.1 $\int\!lnxdx,\int\!arctanx\,dx.$
   2.2 $\int\!x\cdot arctanx\,dx.$
   2.3 $\int\!xcosx\,dx,\int\!xe^xdx.$
   2.4 $\int\!e^xsinx\,dx.$【解方程】
   2.5 $\int\!{1\over {sin^nx}}dx,\int\!{1\over{cos^nx}}dx,\int\!{1\over{(a^2+x^2)^n}}dx.$
3. 其他類型的分部積分：
   3.1 不同類函數乘積型：$\int\!{x\,arcsinx\over{\sqrt{1-x^2}}}dx.$【典型湊微分】
   3.2 導數重複出現型：$\int\!cosx\,lnxdx.$【解方程法】
   3.3 含“不可積”函數型：${sinx\over x},e^{x^2},sinx^2,{1\over {lnx}},\sqrt{1+x^3},{e^x\over x}.$【抵消法】
   3.4 含有抽象函數型：$\int\![f^{''}(x)g(x)-f(x)g^{''}(x)]dx$【分部後可抵消】

第四講：其他類型積分法

1. 第二換元積分法：
   1.1 $\int\!f(\sqrt[n]{{ax+b}\over{cx+d}})dx.$【整體換元爲$t$】
   【例題】：$\int\!{1\over {\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}}dx$
   1.2 $\int\!f(\sqrt{Ax^2+Bx+C})dx.$【配方後三角代換】
   【例題】：$\int\!{{\sqrt{1-x^2}}\over{x}}dx$
2. 有理函數積分：【假分式=多項式+真分式】【真分式=$\sum$最簡分式】
3. 三角函數萬能代換：$sinx={2tan{x\over2}\over{1+tan^2{x\over 2}}},cosx=,tanx=.$
4. 分段函數積分：【要求原函數在分段點處連續】

第五講：定積分

1. 定積分：任意無限劃分，任意區間取點，黎曼和取極限。
2. 定積分的幾何意義：代數和。
3. 定積分可積準則：黎曼可積必有界（必要條件）；連續必黎曼可積；有限個一類間斷必黎曼可積。
4. 定積分的性質。

第六講：微積分基本定理

1. 變限積分函數：$\phi (x)=\int\!^x_af(t)dt.$
2. 微積分定理第一部分——微分部分：【微分與定積分的關係】
   $\phi ^{'}(x)=\Big(\int^x_af(t)dt\Big)^{'}=f(x).$
3. 微積分定理第二部分——積分部分：【定積分與不定積分的關係】
   $\int^x_af(t)dt=F(x)-F(a).$
4. 【證明】：$[a,b]$上$f(x)$可積，則$\int^x_af(t)dt$連續，但不一定可積.

第七講：定積分的計算【可利用幾何意義、對稱性等】

1. 第一還原積分法：換元必換限。
   【例題】：求$\int^1_0x^3\sqrt{1+x^2}dx.$
2. 分部積分法。
   【例題】：求$\lim_{n\to \infty}\int_0^1e^{x^2}cosnx\,dx$
3. 分段函數的積分。
4. 第二換元積分法：【換元必換限】
   $\int_a^bf(x)dx \xlongequal{x=g(t)} \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f[g(t)]g^{'}(t)dt.$
   【例題1】：強調定積分的第二換元積分！【“倒區間換元”後可抵消】
   $求\int^{\pi \over 4}_{-\pi \over 4}{cosx \over {1+e^x}}dx.$
   【例題2】：$求證\int^{\pi \over 2}_{0}sinxdx=\int^{\pi \over 2}_{0}cosxdx$
   【例題3】：$求證\int^{\pi}_{0}xf(sinx)dx={\pi \over 2}\int^{\pi}_{0}f(sinx)dx=\pi \int^{\pi \over 2}_0f(sinx)dx.$
5. 定積分定義求極限：$\int^1_0f(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum^n_{i=1}f({i\over n}){1\over n}.$

第八講：廣義積分

1. 無窮區間上的定積分。
   【例題】：$求\int^{+\infty}_0{1\over {(1+x^2)(1+x^{\beta})}}dx,0<\beta <1.$
2. 瑕積分：有限點處函數無界。
   【例題】：$求\int^{\pi}_{0}{1\over {1+3sin^2x}}dx.$

第九講：極值與最值

1. 函數的單調性：
   【定理1】：$f(x)單調上升且f^{'}(x)存在，則f^{'}(x)\geqslant 0.$
   【定理2】：$f(x)在(a,b)內可導，且f^{'}(x)>0，則f(x)在(a,b)內單調遞增.$
2. 函數的極值：駐點、極值嫌疑點。
   【定理】：極值的兩個判斷定理。
3. 函數的最值：
   【題型1】：閉區間上連續函數的最值：逐個比較嫌疑點函數值得到最值。
   【題型2】：開區間連續函數的最值：若有且僅有一個極值，則必爲最值。
   【題型3】：實際問題中的最值。

第十講：函數的作圖

1. 凹凸性：$f({{x_1+x_2}\over 2})<{1\over 2}[f(x_1)+f(x_2)]\Leftrightarrow 凹.$
   【定理】：$f^{''}(x)>0 \Longleftrightarrow 凹.$
2. 拐點：凹凸性變化點。
3. 漸趨線：$y=ax+b:a=\lim_{x\to \pm \infty}{f(x)\over x},b=\lim_{x\to \pm \infty }[f(x)-ax].$
4. 曲線的作圖：特殊點，區間。

第十一講：函數的弧微分

1. 弧微分公式：$要求\lim_{M\to M^{'}}{\overgroup{M_0M} \over{ \left|{M_0M}\right| }}=1.$
   $\begin{aligned} ds&=\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx\\ &=\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt\\ &=\sqrt{r^{2}(\theta)+r^{'2}(\theta)}d\theta. \end{aligned}$
2. 微分三角關係：$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.$
3. 曲率圓：$K={1\over R}$，曲率中心的運動軌跡即漸屈線。

第十二講：定積分的應用

1. 微元法：$所求量滿足可加性；存在實數區間[a,b]與所求量對應；\forall x\in [a,b],點區間[x,x+dx]對應的分量dS=f(x)dx.$
2. 求平面圖形面積：直角座標系、極座標系。
3. 求旋轉體體積。
4. 求橫截面積已知的空間體的體積。
5. 計算弧長。
6. 定積分的物理應用。

第十三講：常微分方程

1. 常微分方程：未知函數爲一元函數。
2. 微分方程的階：方程中未知函數的最高階數。
3. 微分方程的解：一個解、通解、特解、奇解。
4. 定解條件：n階微分方程需要n個定解條件來確定解。

第十四講：一階微分方程

1. 可分離變量型：$g(y)dy=f(x)dx.$
2. 齊次型：${ {dy}\over {dx} }=f({y\over x})或{ {dx}\over {dy} }=f({x\over y}).$
3. 一階線性型：${dy\over {dx}}+P(x)y=Q(x).$
4. 伯努利方程：${dy\over{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{n},(n\ne0,1).$

第十五講：可降階的高階微分方程：

5.1 $y^{(n)}=f(x)型;$
5.2 $F(x,y^{(n)},y^{(n+1)})型;$
5.3 $F(y,y^{'},y^{''})型;$

第十六講：線性微分方程通解結構

1. 線性微分方程：$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(x)y=f(x).$
2. n階線性微分方程通解結構：n個線性無關特解的線性和+非齊次特解。

第十七講：常係數線性微分方程

1. n階常係數線性微分方程：$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=f(x).$
2. 常係數齊次：假設特解爲$e^{\lambda x}$，求特徵方程得到線性無關的特解。
3. 特徵根的分類：
   3.1 k重實根：對應k個不帶三角的冪指根——$x^ie^{\lambda _ix}$
   3.2 k重復根：對應2k個帶三角的冪指根——$x^ie^{\alpha _i}cos\beta x,x^ie^{\alpha _i}sin\beta x.$