哈工大《微積分》——函數、極限與連續

LaTeX語法參考：http://www.mohu.org/info/lshort-cn.pdf

第一講：函數

1. 實數與數軸，實數集（區間、鄰域）。
2. 有界集與確界。
3. 函數及常用函數（函數三要素、數列(整標函數)、基本初等函數、初等函數）。

   【分段函數是否一定非初等；$y\!\!=\!\! \left| {x} \right|$是初等還是非初等；複合函數舉例；】

4. 座標系（直角座標系、極座標系）。

第二講：數列極限的概念

1. 曲邊三角形求面積。
2. $\varepsilon-N$語言（$\mathring{U}(x_0,\varepsilon )$內有無窮多個函數值且$\varepsilon$可任意小）。
3. 極限定義：$\lim_{n\to \infty} x_n\!=\!A\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>\!0, \exist N, s.t當n>N時,有\left| {x_n\!-\!A} \right|<\varepsilon.$只能用來判斷A是否是極限，而不能用來求極限。
   【例題1】：證明$\lim_{n\to \infty}{1\over n} =0.$
   【例題2】：證明$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{a}}=1.(a>1)$
   【思考1】：取N的值的時候，取整函數後面不加1行不行？（用極限定義證明極限就是要找到合題的N,找到即可,不要求找到的N爲可能的最小值）。
   【例題3】：證明（不易求解關於n的不等式的情況）$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1.$【例題4】：證明$\forall \varepsilon \in (0,1),\exist N,使當n\geq N時,恆有\left|{x_n-A}\right|\leq \varepsilon.$是$\lim_{n\to \infty}x_n=A.$的充要條件。

第三講：數列極限的性質與運算

1. 數列極限具有唯一性（反證法）、保序性、有界性（奇偶數子列極限不同推不收斂）。
2. 數列極限的四則運算（公式變形、分子有理化、）。

第三講：數列極限的收斂準則

4. 數列極限的收斂準則：夾擠準則（放縮極限過程中不起作用的部分；丟棄部分和；放縮部分因式；$\left|{x_n}\right|\!\to \!0\Leftrightarrow x_n\! \to \!0$）、單調有界準則。
   【例題1】單調有界準則求（證明）極限。

第五講：函數極限的概念、性質與運算

1. 函數極限定義的6中趨向。
2. 函數極限的性質（唯一性、局部有界性、保序性）。
3. 函數極限的運算（四則運算、複合運算）。
   【思考1】：函數極限複合運算中$u\ne u_0$的必要性。
4. 函數極限的定式：
   $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),其中f(x)爲基本初等函數或初等函數。$
   【思考1】：$\lim_{x \to \infty}e^x是否存在？$

第六講：兩個重要極限

1. $\lim_{x \to 0}{sinx \over x}=1,其中x可廣義化.$
2. $\lim_{x\to 0}{(1+x)^{1\over x}}=e,其中x可廣義化.$
3. 【結論1】：冪指函數可直接帶入求極限。

第七講：無窮小

1. 無窮大量與無界量的區別。
2. 無窮小的性質：有限加和仍爲無窮小；乘以有界量仍爲無窮小；$\lim{f(x)}=\lim{g(x)}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)+\alpha,\\其中\alpha 爲極限過程中的無窮小.$
   【例題1】：已知函數極限求其參數
   $設\lim_{x \to +\infty}{( { {1+e^x}\over {1-e^x} } -ax-b)}=0,求a,b.$
3. 無窮小的比較：階數、高階、低階、等價。
4. 【定理】：等價無窮小代換。
   【例題1】：算極限過程中cosx不熟悉換元變成sinx。

第八講：連續

1. 連續函數的性質：四則運算、複合運算、單調連續函數的反函數及初等函數的連續性。
   【疑問1】：感覺不對的題。
2. 閉區間連續函數的性質：有界性、最值原理、零點定理、介值定理。