哈工大《微積分》——一元微分學

第九講：導數的概念

1. 導數的性質：可導等價於左右導相等；可導必連續；

第十講：導數的計算

1. 導數的運算：四則運算。

第十一講：導數的求導法則

1. 導數的求導法則：反函數、複合函數、參數方程、隱函數。
2. 導數計算的輔助公式：
   【公式1】：
   $( {f(x)}^{g(x)} )^{'} = ( e^{g(x)ln(f(x))} )^{'} = f^{g} \cdot (glnf)^{'}.$
   【例題1】：
   $設y = e^{x \over y},求y^{'}. \\ y^{'} = e^{x \over y} \cdot ({x\over y} \cdot lne)^{'} = y \cdot {y-xy^{'} \over {y^2}} = 1-{x \over y}y^{'}, \\ 所以\qquad y^{'} = {y \over {x+y} }.$

第十二講：高階導數

1. 高階導數求導公式：
   【公式1】：${({1\over x})}^{(n)}={ (x^{-1})^{(n)} }=(-1)^n\cdot n!\cdot x^{-(n+1)}= { {(-1)^n\cdot n!}\over x^{(n+1)} }.$
   【公式2】：${(lnx)} ^ {(n)}={ ({1\over x})^{(n-1)} }.$
   【公式3】：萊布尼茲公式。
   【注意1】：參數方程式函數的二階導數：一階導$y^{'}_x$與$x$仍然構成參數方程，$\left\{\begin{array}{ll} x=\varphi (t)&, \\ y=\psi(t)&,\end{array} \right .\\{ { {dy}\over {dx} }={{dy}\over {dt}}{{dt}\over{dx}}={ {\psi ^{'}(t)}\over {\varphi^{'}(t)} }, \\{ {d^2y}\over {dx^2} } = { d\over {dt}} \lgroup{ {\psi^{'}(t)} \over {\varphi^{'}(t)} } \rgroup \cdot {dt\over dx} }.$
   【注意2】：隱函數的二階導。
   【例題1】：$設y={ {x^3}\over {x^2+3x+2} },求y^{(n)}.$ （聯想有理分式函數求積分）。

第十三講：微分

1. 導數與微分的關係：可導等價於可微，但兩者考慮的問題不同。
2. 微分的計算：
   【微分的基本公式】：$dy=df(x)=f^{'}(x)\Delta x=dx.$
   【微分的四則運算】
   【複合函數的微分】:
   $\begin{aligned} y=f(u),u=g(x),則\\ dy &= \{f[g(x)]\}^{'}dx \\ &=f^{'}[g(x)]g^{'}(x)dx \\ &=f^{'}(u)du. \end{aligned}$

第十四講：微分中值定理（方程有根的問題）

1. 羅爾中值定理：對[a,b]，閉連續、開可導、兩點值相等，則$f^{'}(\xi)=0.$
   【推論1】：費馬引理——極值點導數爲零。
   【注意點】：常證等式題！！！
2. 拉格朗日中值定理：各種形式及與微分的聯繫。
   【注意點】：常證不等式題！！！（$\xi 有範圍\Rightarrow f^{'}(\xi)有範圍\Rightarrow f(x_1)\!-\!f(x_2)有範圍$）。
3. 拉格朗日中值定理的推論：導函數與單調性的關係、導函數相等的函數間的關係。
4. 柯西中值定理：拉格朗日中值定理在參數形式下的表示形式。將拉格朗日中值定理稱爲“微分中值定理”毫不爲過。

第十五講：洛必達法則

1. 洛必達法則使用舉例。
2. 函數的未定式：$“\infty\! - \!\infty"型提取無窮大因子後可能化爲“\infty(A-A)”型$，提取無窮大因子時須做選擇；遇到$1 \over x$經常換元成$t$；極限變量爲$n$時的未定式舉例。

第十六講：泰勒公式

1. 泰勒多項式：$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n$.
2. 泰勒公式：帶皮亞諾餘項僅要求點$x_0$處$n$階可導；帶拉格朗日餘項則要求在$x_0$某領域內$n+1$階可導。
3. 泰勒公式的應用：近似計算、極限計算、證明方程有根問題（舉例）。